1--消元法.ppt

线性方程组 有解的充要条件及通解 向量及向量组的线性关系 解的结构 消元法 复习 用消元法解线性方程组 解 对应的增广矩阵 例解线性方程组 消元法 阶梯形矩阵 约化的阶梯形矩阵 这是原方程组的唯一解 大的步骤 阶梯形矩阵 约化的阶梯形矩阵 线性方程组 对应的增广矩阵 解线性方程组的第1个步骤 写下方程组对应的增广矩阵 也可以说是解线性方程组的准备工作 阶梯形矩阵 解线性方程组的第2个步骤 对增广矩阵进行初等行变换 将之化作阶梯形矩阵 接下来 判断线性方程组是否有解 准则 阶梯形矩阵的最后一个首元是否在最后一列 若在最后一列 则原来的线性方程组无解 否则有解 约化的阶梯形矩阵 解线性方程组的第3个步骤 若线性方程组有解 则进一步用初等行变换将增广矩阵化作约化的阶梯形矩阵 解线性方程组的第4个步骤 写下约化的阶梯形矩阵对应的线性方程组 然后直接求解 即给出线性方程组解的结构 早在东汉 或许更早 中国古代的著名数学著作 九章算术 中就用消元法来解线性方程组 现在消元法仍是解线性代数方程组的主要方法 解线性方程组的消元法 在消元法中 我们对线性方程组作同解变形 其中用到了三种基本变形 即 交换两个方程的位置 某个方程乘以一个数加到另一个方程 某个方程乘以一个不为零的数 这三种变形分别对应于增广矩阵的三种初等行变换 消元法的一般理论 一般地 我们把有n个变量和m个方程的线性方程组写作 若常数项全为0 则称方程组为齐次线性方程组 若满足方程组 则称之为方程组的一个解 否则称为非齐次线性方程组 通常我们将线性方程组的解写成列向量的形式 并称之为一个解向量 线性方程组 方程组表示为矩阵形式 增广矩阵 系数矩阵 关于解线性方程组的几个问题 1 什么条件下有解 2 若有解 解是否唯一 解有多少个 3 求出其全部解 工具 矩阵理论 例解线性方程组 解 对应的方程组 对应的方程组 解得 x3可以任意取值 无解 例求下列方程组的解 解 显然 任取x3 c代入上式 都可得到原方程组的一个解 称之为自由变量 这个线性方程组有无穷多个解 例解方程组 解 x2 x4 x5为自由变量 任意取值 代入可得原方程组的通解 消元法解线性方程组的一个关键之处是化简方程组 对于线性方程组对应的增广矩阵 消元法就是作初等行变换 于是问题转化为用初等行变换对矩阵进行化简 容易看出 阶梯形矩阵就是一种简单形式的矩阵 解线性方程组的第一个环节就是将其增广矩阵化作阶梯形 注意 消元法是对线性方程组作同解变形 齐次线性方程组 线性方程组 方程组的矩阵形式 AX b 若b 0 即常数项都为0 此时线性方程组为AX 0 称之为齐次线性方程组 齐次这个词的含义是所有项的次数都相同 都是一次 没有其他次数的项 线性方程组中包含变量的部分为1次项 常数项的次数为0 次数就是关于变量的方次 或者幂 显然 X 0是任何齐次线性方程组的解 X 0这个解是显而易见的 因此被称为平凡解 也称为0解 因而 对于齐次线性方程组 我们关心的问题就不是解的存在性 而是 齐次线性方程组是否存在非0解 方程组的矩阵形式 AX 0 证明 设AX 0有非0解 则 A 0 用反证法 若 A 0 则A可逆 因AX 0 此式左乘A的逆矩阵A 1得 A 1AX A 10 即X 0 定理 对于齐次线性方程组AX 0 设系数矩阵A为方阵 则 AX 0有非0解 当且仅当 系数矩阵的行列式 A 0 反之 设 A 0 要证明AX 0有非0解 用消元法来解这个线性方程组 将增广矩阵 A 0 化作约化的阶梯形矩阵 设为 B 0 则必有 B 0 即方阵B为一个不可逆的约化的阶梯形矩阵 下面以一