高一数学 3.1.1 方程的根与函数的零点 3课件 新人教A版必修1.ppt

学点一 学点二 学点三 学点四 1 函数零点的概念对于函数y f x 我们把使的实数x叫做函数y f x 的 2 函数零点与方程根的关系函数y f x 的零点就是方程f x 0的 也就是函数y f x 的图象与的交点的 所以方程f x 0有 函数y f x 的图象与 函数y f x f x 0 零点 实数根 x轴 横坐标 实数根 x轴有交点 有零点 3 函数零点的判断如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 那么 函数y f x 在区间内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 4 二次函数的零点 二次函数图象与x轴的交点 一元二次方程的根三者之间的关系 0 a b f c 0 有两个零点 b2 4ac 0 0 0 ax2 bx c 0 a 0 的根 y ax2 bx c a 0 的图象 y ax2 bx c a 0 的零点 方程无实数根 x1 x2 有一个二重零点 没有零点 学点一函数的零点 求下列函数的零点 1 f x 4x 3 2 f x x2 2x 3 3 f x x4 1 分析 根据函数零点与方程的根之间的关系 要求函数的零点就是求相应方程的实数根 解析 1 由f x 4x 3 0得x 所以函数的零点是 2 由于f x x2 2x 3 x 3 x 1 因此方程f x 0的根为 3 1 故函数的零点是 3 1 3 由于f x x4 1 x2 1 x 1 x 1 令f x 0 得x 1 1 故函数的零点是1 1 评析 求函数的零点就是求相应方程的实数根 一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根 从而得到函数的零点 1 令lnx 3 0 得x e3 函数的零点为x e3 2 方程x3 7x 6 0可化为x3 6x x 6 x x2 1 6 x 1 x x 1 x 1 6 x 1 x 1 x2 x 6 x 1 x 2 x 3 0 即 x 1 x 2 x 3 0得x1 3 x2 1 x3 2 函数y x2 2x 3的零点为1 3 函数y x3 7x 6的零点为 3 1 2 求下列函数的零点 1 y lnx 3 2 y x3 7x 6 学点二判断零点 判断函数f x x2 x 6的零点是否存在 若存在 说明零点所在的一个区间 分析 要判断函数的零点的个数 实际就是考查方程x2 x 6 0的解的个数 即y x2 x 6的图象与x轴的交点个数 解析 考查函数f x x2 x 6知图象为抛物线 如图所示 容易看出f 0 60 f 4 14 0 评析 1 方程的解与函数零点的关系是解决本题的桥梁 2 体会数形结合和函数与方程的思想的运用 由于函数f x 的图象是连续曲线 因此 点b 0 6 与点c 4 6 之间的那部分曲线必然穿过x轴 即在区间 0 4 内必有一个点x1 使f x1 0 同样在区间 4 0 内也必有一个点x2 使f x2 0 所以函数f x x2 x 6有两个零点 分别在区间 0 4 和 4 0 内 求证 方程5x2 7x 1 0的根一个在区间 1 0 上 另一个在区间 1 2 上 证明 令f x 5x2 7x 1 则f 0 1 f 1 3 f 1 11 f 2 5 由f 1 0 f 0 0知方程在 1 2 上也有一根 学点三函数值符号的判定 函数y 2x2 x 3的自变量x分别在什么范围内取值时 函数值大于0 小于0 等于0 分析 首先求出函数的零点 然后利用零点 结合函数的两个性质 可以求出函数值大于0 小于0 等于0时自变量x的取值范围 解析 由 2x2 x 3 0得x1 1 x2 所以函数的零点是 1和 亦即当自变量x取 1和时 函数值等于0 函数的两个零点 1和将数轴分成3个区间 1 1 在区间 1 内取特殊值 x 0 得其函数值f 0 3 0 依函数零点的性质 2 知当x 1 时 有f x 0 再依据函数零点的性质 1 知 当x 1 和x 时 都有f x 0 因此 当自变量x 1 时 函数值大于0 当x 1 时 函数值小于0 当x 1和时 函数值等于0 评析 求出函数的零点后 充分利用函数零点的两个性质 得到在不同的自变量的取值范围内 函数值的不同取值情况 求函数y x2 2x 8在y 0时 x的取值范围 解 y x2 2x 8 x 2 x 4 函数的两个零点是 2和4 由图象可知当x 2 4 时 y 0 学点四零点与不等式 已知函数f x x3 4x 1 求函数的零点并画函数的图象 2 解不等式 xf x 0 分析 由函数的零点判断作出函数图象 解析 1 因为x3 4x x x 2 x 2 所以函数的零点为0 2 2 三个零点把数轴分成4个区间 2 2 0 0 2 2 由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 函数的图象如图所示 2 不等式xf x 0 x0 结合函数图象 得不等式的解集为 0 2 2 0 评析 根据函数的零点定义与性质 可以用来帮助画函数的图象 结合函数图象不仅可以直观的研究函数的性质 而且能够求解相关的不等式 这体现了以数辅形 以形助数的思想方法 已知函数f x x2 2x 3m 当x 0 时 f x 0 求m的取值范围 可分两种情况处理 即分无零点和有零点 1 当f x 无零点时 4 12m0 2 当f x 有零点 且又满足x 0 时 f x 0 有两个零点必落在 0 内 此时有 0m ba 0 2 0ca 0 3m 0 即 解得 m 0 综上所述 得当x 0 f x 0时 m的取值范围是m 0 1 怎样判定函数f x 在 a b 上是否有零点 判定f x 在区间 a b 上是否有零点 可用下面方法 1 函数在区间 a b 上的图象连续 且它在区间 a b 端点的函数值异号 则函数在 a b 上一定存在零点 2 函数图象连续且在区间 a b 上存在零点 则它在区间 a b 端点的函数值可能异号 也可能同号 上述方法只能用来判断函数零点的存在性 不能用来判断函数零点的个数 2 怎样理解函数零点与方程根的关系 3 函数值与零点有什么关系 返回目录 设给出函数y f x 则有方程f x 0有实数根 函数y f x 有零点 函数y f x 的图象与x轴有交点 若方程f x 0有二重实根 则称函数y f x 有二阶零点 对于任意函数y f x 只要它的图象是连续不间断的 则有 1 当通过零点时 函数值变号 如函数y x2 x 6的图象在零点 2的左边时 函数值取正号 向右通过零点 2时 函数值由正变负 继续向右通过零点3时 函数值又由负变