高考数学一轮复习 6.5 数列的综合应用精品课件 新人教A版.ppt

要点梳理1 解答数列应用题的基本步骤 1 审题 仔细阅读材料 认真理解题意 2 建模 将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 弄清该数列的结构和特征 3 求解 求出该问题的数学解 4 还原 将所求结果还原到原实际问题中 6 5数列的综合应用 基础知识自主学习 2 数列应用题常见模型 1 等差模型 如果增加 或减少 的量是一个固定量时 该模型是等差模型 增加 或减少 的量就是公差 2 等比模型 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 该模型是等比模型 这个固定的数就是公比 3 分期付款模型 设贷款总额为a 年利率为r 等额还款数为b 分n期还完 则b 基础自测1 数列 an 是公差不为0的等差数列且a7 a10 a15是等比数列 bn 的连续三项 若等比数列 bn 的首项b1 3 则b2等于 a b 5c 2d 解析由条件知 a7 a15 a7 3d 2 a7 a7 8d 9d 2a7 q b1 3 b2 b1 q 5 b 2 一套共7册的书计划每两年出一册 若出完全部各册书 公元年代之和为13958 则出齐这套书的年份是 a 1994b 1996c 1998d 2000解析设出齐这套书的年份是x 则 x 12 x 10 x 8 x 13958 7x 13958 x 2000 d 3 2009 四川文 3 等差数列 an 的公差不为零 首项a1 1 a2是a1和a5的等比中项 则数列 an 的前10项之和是 a 90b 100c 145d 190解析由题意知 a1 d 2 a1 a1 4d 即 2a1d d2 4a1d d 2a1 2 s10 10a1 d 10 90 100 b 4 有一种细菌和一种病毒 每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒 问细菌将病毒全部杀死至少需要 a 6秒b 7秒c 8秒d 9秒解析依题意1 21 22 2n 1 100 100 2n 101 n 7 即至少需要7秒细菌将病毒全部杀死 b 5 已知数列 an 中 a1 2 点 an 1 an n 1且n n 满足y 2x 1 则a1 a2 a10 解析 an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 an 1 是等比数列 则an 2n 1 1 a1 a2 a10 10 20 21 22 29 10 1033 1033 题型一等差数列与等比数列的综合应用 例1 数列 an 的前n项和记为sn a1 1 an 1 2sn 1 n 1 1 求 an 的通项公式 2 等差数列 bn 的各项为正 其前n项和为tn 且t3 15 又a1 b1 a2 b2 a3 b3成等比数列 求tn s1 n 1 sn sn 1 n 2 求an 2 注意等差数列与等比数列之间的相互关系 思维启迪 1 运用公式an 题型分类深度剖析 解 1 由an 1 2sn 1 可得an 2sn 1 1 n 2 两式相减得an 1 an 2an 则an 1 3an n 2 又a2 2s1 1 3 a2 3a1 故 an 是首项为1 公比为3的等比数列 an 3n 1 2 设 bn 的公差为d 由t3 15 b1 b2 b3 15 可得b2 5 故可设b1 5 d b3 5 d 又a1 1 a2 3 a3 9 由题意可得 5 d 1 5 d 9 5 3 2 解得d1 2 d2 10 等差数列 bn 的各项为正 d 0 d 2 b1 3 tn 3n 2 n2 2n 探究提高对等差 等比数列的综合问题的分析 应重点分析等差 等比数列的通项及前n项和 分析等差 等比数列项之间的关系 往往用到转化与化归的思想方法 知能迁移1 2009 全国 文 17 设等差数列 an 的前n项和为sn 公比是正数的等比数列 bn 的前n项和为tn 已知a1 1 b1 3 a3 b3 17 t3 s3 12 求 an bn 的通项公式 解设 an 的公差为d bn 的公比为q 由a3 b3 17得1 2d 3q2 17 由t3 s3 12得q2 q d 4 由 及q 0解得q 2 d 2 故所求的通项公式为an 2n 1 bn 3 2n 1 题型二数列与函数的综合应用 例2 12分 已知f x logax a 0且a 1 设f a1 f a2 f an n n 是首项为4 公差为2的等差数列 1 设a为常数 求证 an 是等比数列 2 若bn anf an bn 的前n项和是sn 当a 时 求sn 利用函数的有关知识得出an的表达式 再利用表达式解决其他问题 思维启迪 1 证明f an 4 n 1 2 2n 2 logaan 2n 2 2分 an a2n 2 n 2 为定值 an 为等比数列 5分 2 解bn anf an a2n 2logaa2n 2 2n 2 a2n 2 当a 时 bn 2n 2 2n 2 n 1 2n 2 7分sn 2 23 3 24 4 25 n 1 2n 2 2sn 2 24 3 25 4 26 n 2n 2 n 1 2n 3 得 sn 2 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 16 n 1 2n 3 16 2n 3 24 n 2n 3 2n 3 n 2n 3 sn n 2n 3 12分数列与函数的综合问题主要有以下两类 1 已知函数条件 解决数列问题 此类问题一般利用函数的性质 图象研究数列问题 2 已知数列条件 解决函数问题 解决此类问题一般要充分利用数列的范围 公式 求和方法对式子化简变形 探究提高 知能迁移2设等比数列 an 的前n项和sn 首项a1 1 公比q f 1 0 1 证明 sn 1 an 2 若数列 bn 满足b1 bn f bn 1 n n n 2 求数列 bn 的通项公式 3 若 1 记cn an 数列 cn 的前n项和为tn 求证 当n 2时 2 tn 4 1 证明 2 解 是首项为 2 公差为1的等差数列 2 n 1 n 1 即bn 3 证明 当 1时 又 tn 1 tn 0 tn单调递增 tn t2 2 故当n 2时 2 tn 4 两式相减得 题型三数列的实际应用 例3 假设某市2008年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2008年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 参考数据 1 084 1 36 1 085 1 47 1 086 1 59 1 要求学生会把实际问题转化为数学问题 sn 250n 50 25n2 225n 4750 2 an 0 85bn bn 400 1 08n 1 解 1 设中低价房的面积形成的数列为 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 则an 250 n 1 50 50n 200sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 n 10 因此到2017年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 思维启迪 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 即50n 200 400 1 08 n 1 0 85 当n 5时 a5 0 85b5 当n 6时 a6 0 85b6 因此满足上述不等式的最小正整数n为6 因此到2013年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题 通过反复读题 列出有关信息 转化为数列的有关问题 这也是数学实际应用的具体体现 探究提高 知能迁移3某市2008年共有1万辆燃油型公交车 有关部门计划于2009年投入128辆电力型公交车 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50 试问 1 该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车 2 到哪一年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 lg657 2 82 lg2 0 30 lg3 0 48 解 1 该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列 an 其中a1 128 q 1 5 则在2015年应该投入的电力型公交车为a7 a1 q6 128 1 56 1458 辆 2 记sn a1 a2 an 依据题意 得 于是sn 5000 辆 即1 5n 两边取常用对数 则n lg1 5 lg即n 7 3 又n n 因此n 8 所以到2016年底 电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 方法与技巧1 深刻理解等差 比 数列的性质 熟悉它们的推导过程是解题的关键 两类数列性质既有相似之处 又有区别 要在应用中加强记忆 同时 用好性质也会降低解题的运算量 从而减少差错 2 在等差数列与等比数列中 经常要根据条件列方程 组 求解 在解方程组时 仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处 思想方法感悟提高 3 数列的渗透力很强 它和函数 方程 三角形 不等式等知识相互联系 优化组合 无形中加大了综合的力度 解决此类题目 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 深刻领悟它在解题中的重大作用 常用的数学思想方法有 函数与方程 数形结合 分类讨论 等价转换 等 4 在现实生活中 人口的增长 产量的增加 成本的降低 存贷款利息的计算 分期付款问题等 都可以利用数列来解决 因此要会在实际问题中抽象出数学模型 并用它解决实际问题 失误与防范1 等比数列的前n项和公式要分两种情况 公比等于1和公比不等于1 最容易忽视公比等于1的情况 要注意这方面的练习 2 数列的应用还包括实际问题 要学会建模 对应哪一类数列 进而求解 3 在有些情况下 证明数列的不等式要用到放缩法 一 选择题1 各项都是正数的等比数列 an 中 a2 a3 a1成等差数列 则的值为 a b c d 或解析设 an 的公比为q q 0 由a3 a2 a1 得q2 q 1 0 解得q 因此 b 定时检测 2 数列 an 中 an 3n 7 n n 数列 bn 满足b1 bn 1 27bn n 2且n n 若an logkbn为常数 则满足条件的k值 a 唯一存在 且为b 唯一存在 且为3c 存在且不唯一d 不一定存在 解析依题意 an logkbn 3n 7 logk 3n 2 3n 7 3n 2 logk 3 3logk n 7 2logk an logkbn是常数 3 3logk 0 即logk3 1 k 3 答案b 3 有一塔形几何体由若干个正方体构成 构成方式如图所示 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点 已知最底层正方体的棱长为2 且该塔形的表面积 含最底层正方体的底面面积 超过39 则该塔形中正方体的个数至少是 a 4b 5c 6d 7 解析正方体按从下向上的顺序其棱长构成等比数列 其棱长分别为 2 1 n层正方体的表面积为由已知 40 32 n 39 整理得2n 32 n 5 答案c 4 气象学院用3 2万元买了一台天文观测仪 已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用 第n天的维修保养费为元 n n 使用它直至报废最合算 所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少 为止 一共使用了 a 800天b 600天c 1000天d 1200天 解析由第n天的维修保养费为元 n n 可以得出观测仪的整个耗资费用 由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值 设一共使用了n天 则使用n天的平均耗资为当且仅当时取得最小值 此时n 800 答案a 5 2008年春 我国南方部分地区遭受了罕见的特大冻灾 大雪无情人有情 柳州某中学组织学生在学校开展募捐活动 第一天只有10人捐款 人均捐款10元 之后通过积极宣传 从第二天起 每天的捐款人数是前一天的2倍 且当天人均捐款数比前一天多5元 则截止到第5天 包括第5天 捐款总数将达到 a 4800元b 8000元c 9600元d 11200元解析由题意知 5天共捐款10 10 10 2 10 5 10 22 15 5 10 23 20 5 10 24 25 5 8000 元 b 6 已知数列 an bn 满足a1 1 且an an 1是函数f x x2 bnx 2n的两个零点 则b10等于 a 24b 32c 48d 64解析依题意有anan 1 2n 所以an 1an 2 2n 1 两式相除得 2 所以a1 a3 a5 成等比数列 a2 a4 a6 成等比数列 而a1 1 a2 2 所以a10 2 24 32 a11 1 25 32 又因为an an 1 bn 所以b10 a10 a11 64 d 二 填空题7 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 则该数列前26项的和为 解析由于a1 1 a2 2 an 2 所以a3 1 a4 a5 1 a6 2 于是 an 是周期为4的数列 故s26 6 1 2 1 1 2 10 10 12345678910 8 2008 江苏 10 将全体正整数排成一个三角形数阵 按照以上排列的规律 第n行 n 3 从左向右的第3个数为 解析前n 1行共有正整数1 2 n 1 个 即个 因此第n行第3个数是全体正整数中第 3个 即为 9 2009 福建理 15 五位同学围成一圈依序循环报数 规定 第一位同学首次报出的数为1 第二位同学首次报出的数也为1 之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和 若报出的数为3的倍数 则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数 当五位同学依序循环报到第100个数时 甲同学拍手的总次数为 解析设第n个同学报出的数为an 则an an 1 an 2 an 2 an an 1 an 3 an 1 an 2 an 2an 1 an 4 an 3 an 2 2an 3an 1 an 4 an 3an 3an 1 3 an an 1 又an为大于0的整数 an被3整除时 an 4也被3整除 an不被3整除时 an 4也不被3整除 又a1 1 a2 1 a3 2 a4 3 a5 5 an 中被3整除的数为a4 4k k n 又甲报出的数为a1 5m m n 甲报出的数a1 5m被3整除时 存在k n 使1 5m 4 4k k m 3被4整除 设m 3 4p p z 则m 4p 3 1 1 5m 100 0 m 19 8 0 4p 3 19 8 p 4 2 p只能取0 1 2 3 4共5个整数 m只能取3 7 11 15 19共5个整数 甲报出的数只有5次能被3整除 甲拍了5次手 答案5 三 解答题10 为保护我国的稀土资源 国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨 该矿区计划从2010年开始出口 当年出口a吨 以后每年出口量均比上一年减少10 1 以2010年为第一年 设第n年出口量为an吨 试求an的表达式 2 因稀土资源不能再生 国家计划10年后终止该矿区的出口 问2010年最多出口多少吨 保留一位小数 参考数据 0 910 0 35 解 1 由题意知每年的出口量构成等比数列 且首项a1 a 公比q 1 10 0 9 an a 0 9n 1 2 10年出口总量s10 10a 1 0 910 s10 80 10a 1 0 910 80 即a a 12 3 故2010年最多出口12 3吨 11 设