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深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲（2006年10月重印版）课程编号 23143110 课程名称 数学分析选讲 课程类别 综合选修 教材名称 数学分析 制 订 人 林壮鹏 审 核 人 刘则毅 2005年 4 月修订一、课程设计的指导思想（一）课程性质1课程类别：综合选修课2适应专业：数学与应用数学专业各方向3开设学期：第四至第七学期中的一学期4学时安排：周学时3，总学时465学分分配：3学分 （二）开设目的数学分析理论的建立及应用是数学史上最辉煌的成就之一，其理论与方法已渗透到纯粹数学与应用数学的各个领域中，在物理学及其他工程技术，乃至社会科学的许多领域都有重要的应用。可是要学好这门课程并非易事，许多学生学了一遍数学分析后仍感一知半解，于是开一门这方面的综合提高课很有必要。数学分析选讲课程正是为了这个目的而开设的一门综合选修课，它是数学分析的复习与综合提高。学生通过该课程的学习，对数学分析的理论、方法及应用有更深刻的理解，能提高学生的抽象思维能力，空间想象能力及分析问题解决问题的能力，同时为学生创作与数学相关的论文打下坚实的数学基础，也为报考研究生的学生提供一个复习与提高的机会。（三）基本要求更深刻理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论与方法，进一步体会数学分析研究中所涉及的各种数学思想，培养学生的数学修养，提高综合应用数学分析的基本理论与方法去解决较难问题的能力。（四）主要内容一元函数、极限与连续，一元函数微分学及其应用，一元函数积分学及其应用，数项级数、函数项级数和幂级数，多元函数的极限与连续，多元函数微分学及其应用，重积分，曲线积分与曲面积分。（五）先修课程数学分析，常微分方程（六）后继课程有关研究生课程等（七）考核方式闭卷考试（八）使用教材华东师范大学数学系编：数学分析，北京：高等教育出版社，2001年第三版.（九）参考书目（1）裴礼文编数学分析中的典型问题与方法，北京：高等教育出版社，1993年第一版.（2）郑步南编数学分析典型题选讲，桂林：广西师范大学出版社，2003年第一版.二、教学内容第一章 实数集与函数教学目的 引入一些记号和概念，为后面学习做准备。主要内容第一节 实数第二节 数集 确界原理第三节 函数概念第四节 具有某些特性的函数教学要求了解： 了解数学的发展史与实数的概念，了解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式，了解函数的运算。理解：理解一些特殊类型的函数。掌握：掌握函数的定义及函数的表示法。第二章 数列极限教学目的 引入数列极限的概念，并由此建立起极限的一整套理论，为后面的级数理论打下坚实的基础，也是解决离散数学问题的一种工具。主要内容第一节 数列极限概念第二节 收敛数列的性质第三节 数列极限存在的条件教学要求理解：理解数列极限概念、数列极限柯西准则。 掌握：掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件。第三章 函数极限教学目的 数学分析研究的对象是函数，研究函数的方法是极限。极限是贯串全书的基本理论，函数的连续性，导数，积分等都和极限密不可分。因此建立函数极限的理论是非常重要的。主要内容第一节 函数极限概念第二节 函数极限的性质第三节 函数极限存在的条件第四节 两个重要的极限第五节 无穷小量与无穷大量教学要求了解：了解函数极限的柯西准则。理解： 理解函数极限的概念、单侧极限、无穷小量与无穷大量的概念及其比较。掌握：掌握函数极限的性质和归结原则，掌握用两个重要极限及等价无穷小替换来处理极限问题。第四章 函数的连续性教学目的 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，它有一些很好的性质，例如连续函数可积且存在原函数等。这些性质在积分学中起到非常重要的作用。另外闭区间上的连续函数有一些很好的整体性质，这些性质都有重要的应用，例如可以利用零点定理证明某个方程有实根等等。从这些应用中，我们可以看到利用数学分析研究函数的巨大威力。主要内容第一节 连续性概念第二节 连续函数的性质第三节 初等函数的连续性教学要求了解：反函数的连续性；理解：一元函数连续性的定义，间断点及其分类，连续函数的局部性质，单侧连续的概念，复合函数的连续性及初等函数的连续性掌握：掌握并会应用闭区间上连续函数的性质。第五章 导数和微分教学目的 导数和微分最初是从研究函数的极值问题以及力学和几何学中建立起来的，它是微积分学的重要组成部分，其理论和方法已对整个数学领域产生巨大的影响，学好它，一方面为后面的学习打下良好的基础，另一方面为应用于几何学，物理学等实际问题提供有力的工具。主要内容第一节 导数的概念第二节 求导法则第三节 参变量函数的导数第四节 高阶导数第五节 微分教学要求了解：了解导数的几何意义，几何应用，微分在近似计算中的应用。理解：理解导数与微分概念，单侧导数，可导性与连续性的关系。掌握：掌握运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数，会求高阶导数。第六章 微分中值定理及其应用教学目的 我们要讨论由导数的已知性质来推断函数所应具有的性质，微分中值定理（包括罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定理）等正是进行这一讨论的有效工具。我们可以综合利用这些理论去解决某些较难的理论和实际问题。例如由它建立起来的罗必达法则是求不定式极限的最佳方法之一；由此而导出的泰勒公式则是函数展成幂级数的有力工具，等等。通过这一章的学习，我们从中可领悟到微分学的理论与方法在解决数学问题中的巨大威力及微分学思想的巧妙。主要内容第一节 拉格朗日定理和函数的单调性第二节 柯西中值定理和不定式极限第三节 泰勒公式第四节 函数的极值与最大（小）值第五节 函数的凸性和拐点第六节 函数图象的讨论第七节 方程的近似解教学要求了解：了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开，了解函数的某些基本特性，能较正确地作出某些函数的图象。理解： 中值定理的内容、证明及其应用。掌握：掌握运用罗必达法则求不定式的极限。第七章 实数的完备性教学目的 实数完备性定理是实数理论的重要基础，用它能严格证明闭区间连续函数的性质等重要的理论问题，从而使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的基础上。主要内容第一节 关于实数集完备性的基本定理第二节 闭区间上连续函数性质的证明第三节 上极限和下极限教学要求了解：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明。理解：理解确界、聚点、子列的概念。第八章 不定积分教学目的 不定积分在某种意义上来说是微分学的逆运算，它是求原函数的重要手段，也是计算定积分的基础（见牛顿莱布尼茨公式）。主要内容第一节 不定积分概念与基本积分公式第二节 换元积分法与分部积分法第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分教学要求了解：了解有理式积分法和三角有理式积分法，并会利用它们来求函数的积分，会计算简单的无理函数的积分。理解：理解原函数和不定积分概念。掌握：掌握换元积分法、分部积分法。第九章 定积分教学目的 定积分是微积分学中最辉煌的成就之一，其思想与方法已渗透到纯粹数学与应用数学的许多领域之中。掌握定积分的理论及计算方法，对解决数学问题及实际问题都有重要的意义。主要内容第一节 定积分概念第二节 牛顿莱布尼茨公式第三节 可积条件第四节 定积分的性质第五节 微积分学基本定理定积分计算第六节 可积性理论补叙基本要求了解：了解一些可积分函数类。理解：理解定积分概念及函数可积的条件，定积分与可变限积分的性质。掌握：掌握运用牛顿莱布尼茨公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。第十章 定积分的应用教学目的 定积分为解决实际问题提供一种有力的工具，建立定积分的理论与方法，其中的一个目的就是把它应用于解决实际问题，这一章主要介绍微积分在几何学与物理学中的某些初步的应用。主要内容第一节 平面图形的面积第二节 由平行截面面积求体积第三节 平面曲线的弧长与曲率第四节 旋转曲面的面积第五节 定积分在物理中的某些应用第六节 定积分的近似计算基本要求了解：了解定积分在物理上的应用。掌握：掌握定积分的几何应用，在应用中逐步掌握“微元法”。第十一章 反常积分教学目的 反常积分也是从实际问题中提出来的一种理论与方法，它是定积分的延伸，学好反常积分从某种角度上可以加深对定积分及函数极限的理解。也反映出定积分的另一个应用。主要内容第一节 反常积分概念第二节 无穷积分的性质与收敛判别第三节 瑕积分的性质与收敛判别基本要求 了解：会用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。理解：理解广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。第十二章 数项级数教学目的 数项级数是解决离散数学问题的工具之一，其概念及方法已构成数学分析的另一种研究问题的思想与方法，学生学习后，应能了解数学分析思想的灵活多样性。主要内容第一节 级数的收敛性第二节 正项级数第三节 一般项级数基本要求理解：理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念，理解收敛级数的性质。掌握：应用正项级数与任意项级数的收敛性判别法判断级数的敛散性。第十三章 函数列与函数项级数教学目的 函数列与函数项级数是前面我们介绍过的数列与数项级数的本质上的推广，它们既有联系又有很大的区别，特别是在函数列与函数项级数中引入一致收敛的概念之后，由此导出一整套新的理论与方法，这些理论与方法在常微分方程等课程中有着重要的应用。主要内容第一节 一致收敛性第二节 一致收敛函数列与函数项级数的性质基本要求理解：理解收敛域、极限函数与和函数一致收敛等概念及会用各种判敛性方法。掌握：掌握极限函数与和函数的分析性质。第十四章 幂函数教学目的 幂级数是一类特殊的函数项级数，它具有一些很好的性质，这些性质在级数求和及常微分方程的幂级数解法中都有应用，而将函数用幂级数表示出来在函数论及近似计算中也有一定的地位。主要内容第一节 幂函数第二节 函数的幂级数展开第三节 复变量的指数函数欧拉公式基本要求了解：了解幂级数，函数的幂级数及函数的可展成幂级数等概念，会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域，会把一些函数展开成幂级数，包括会用间接展开法求函数的泰勒展开式。掌握：掌握幂级数的性质与级数求和法。第十五章 傅里叶级数教学目的 傅里叶级数也是一类特殊的函数项级数，它广泛应用于数学物理方法与小波分析中。主要内容第一节 傅里叶级数第二节 以2为周期的函数的展开式第三节 收敛定理的证明基本要求了解：了解傅里叶级数收敛性，会将一些函数展开成傅里叶级数。理解：理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数收敛定理。第十六章 多元函数的极限与连续教学目的 将一元函数的极限与连续推广到多元上来，从而建立了一套多元函数的极限与连续性的概念与理论方法，它与一元函数的极限与连续既有联系又有很大的区别，学习时要充分注意到这一点，这样可起到温旧知新的作用，也为学习后面知识打下好的基础。主要内容第一节 平面点集与多元函数第二节 二元函数的极限第三节 二元函数的连续性基本要求了解：了解闭域套定理，有限覆盖定理，多元连续函数的性质。理解：理解平面点集的基本概念，二元函数的极限，累次极限，连续性概念。第十七章 多元函数微分学教学目的 将一元函数微分学的许多概念和定理推广到多元函数上来，而且有些概念及定理尚可得到进一步的发展。这种推广，从数学角度来看，不仅是可能的，从实际应用来说，也是必需的。在学习的时候，要注意将所学的理论与方法与学过的一元函数微分学中相应的理论与方法进行分析对比，一方面有助于理解多元函数微分学的概念、定理和计算方法，另一方面又有助于复习、巩固一元函数微分学中相应的知识。主要内容第一节 可微性第二节 复合函数微分法第三节 方向导数与梯度第四节 泰勒公式与极值问题基本要求了解：了解全微分、偏导数、连续之间的关系，了解泰勒公式，会求函数的极值。理解：理解偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数极值等概念。掌握：掌握求偏导数，全微分等方法。第十八章 隐函数定理及其应用教学目的 自然界中出现的函数并不都是能用一个数学式子来表示的，许多函数的自变量及因变量是由一个方程所确定，这样的函数就是隐函数，因此研究隐函数定理及应用是重要，也是必不可少的。主要内容第一节 隐函数第二节 隐函数组第三节 几何应用第四节 条件极值基本要求了解：了解隐函数的概念及隐函数的存在定理，会求隐函数的导数，会求曲线的切线方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程，了解条件极值概念及求法。第十九章 含参量积分教学目的 含参量积分是一类与定积分或反常积分相关的积分，它是上述积分的另一种表现形式，在计算某些定积分或反常积分中占有一席之地。而欧拉积分在函数论中也是一类重要的积分。主要内容第一节 含参量正常积分第二节 含参量反常积分第三节 欧拉积分基本要求了解：了解含参量定积分的概念与性质；含参量广义积分的收敛与一致收敛的概念；含参量广义积分一致收敛的判别法；会应用欧拉公式。第二十章 曲线积分教学目的 曲线积分也是积分学中一类重要的积分，它有重要的几何和物理背景。主要内容第一节 第一型曲线积分第二节 第二型曲线积分基本要求了解：了解两类曲线积分的性质。理解：理解两类曲线积分的概念。掌握：掌握两类曲线积分的关系以及计算。第二十一章 重积分教学目的 重积分是定积分在高维空间的推广，所以它与定积分有同等重要地位。掌握它的理论与计算方法是非常重要的。其中建立起来的格林公式是用二重积分计算某些第二型曲线积分的有力工具，同时曲线积分与路线的无关性可用于解常微分方程中的一类方程恰当方程。主要内容第一节 二重积分概念第二节 直角坐标系下二重积分的计算第三节 格林公式曲线积分与路线的无关性第四节 二重积分的变量变换第五节 三重积分第六节 重积分的应用基本要求理解：理解二重、三重积分的概念、性质，会计算重积分。掌握：掌握格林公式的应用。第二十二章 曲面积分教学目的 曲面积分是积分学中的另一个组成部分，其计算方法与重积分既有联系又有区别。特别是高斯公式建立了第二型曲面积分与三重积分的关系，这对计算某些曲面积分是方便的。而斯托克斯公式则在微分几何中有重要的应用与推广。主要内容第一节 第一型曲面积分第二节 第二型曲面积分第三节 高斯公式和斯托克斯公式第四节 场论初步基本要求了解：了解两类曲面积分的概念，性质，关系。掌握：掌握高斯公式的应用，会计算两类曲面积分。第二十三章 流形上微积分学初阶教学目的 用较为现代的观点去处理数学分析中的一些经典问题，体现数学思想的巧妙与美感，并为学习微分拓扑学（微分流形）提供初步的知识。主要内容第一节 维欧几里得空间与向量函数第二节 向量函数的微分第三节 反函数定理和隐函数定理第四节 外积、微分形式与一般斯托克斯公式基本要求了解：了解维欧几里得空间与向量函数的概念；向量函数的微分、运算性质；反函数定理和隐函数定理，外积、微分形式的概念与一般斯托克斯公式。 注：根据各课程的具体情况编写，但必须写明各章教学目的、要求、内容提要。三、课时分配及其它（一）课时分配课程总教学时数为45学时，安排在第四至第七学期中的一个学期，每周3学时，上课15周。具体分配如下第一章 实数集与函数 2学时第二章 数列极限 2学时第三章 函数极限 2学时第四章 函数的连续性 4学时第五章 导数和微分 2学时第六章 微分中值定理及其应用 4学时第七章 实数的完备性 自学第八章 不定积分 2学时第九章 定积分 4学时第十章 定积分的应用 自学第十一章 反常积分 2学时第十二章 数项级数 2学时第十三章 函数列与函数项级数 2学时第十四章 幂函数 2学时第十五章 傅里叶级数 自学第十六章 多元函数的极限与连续 2学时第十七章 多元函数微分学 2学时第十八章 隐函数定理及其应用 2学时第十九章 含参量积分 2学时第二十章 曲线积分 2学时第二十一章 重积分 2学时第二十二章 曲面积分 2学时第二十三章 流形上微积分学初阶 自学如果总课时数少于46，可以只讲授其中主要部分。（二）考核要求1. 成绩评价平时成绩（含考勤、作业与测验）占30%，期末（卷面）成绩占70%。2命题说明 数学分析选讲课程是为数学类各