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解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 1 一 齐次线性方程组解的性质 则上述方程组 1 可写成向量方程 若 称为方程组 1 的解向量 它也就是向量方程 2 的解 齐次线性方程组解的性质 证明 2 若为的解 为实数 则也是的解 证明 由以上两个性质可知 方程组的全体解向量所组成的集合 对于加法和数乘运算是封闭的 因此构成一个向量空间 称此向量空间为齐次线性方程组的解空间 证毕 基础解系的定义 二 基础解系及其求法 线性方程组基础解系的求法 现对取下列组数 依次得 从而求得原方程组的个解 下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基 所以个维向量亦线性无关 由于是的解故也是的解 所以是齐次线性方程组解空间的一个基 说明 解空间的基不是唯一的 解空间的基又称为方程组的基础解系 若是的基础解系 则其通解为 定理1 解 对系数矩阵作初等行变换 变为行最简矩阵 有 例2解线性方程组 解 对系数矩阵施行初等行变换 即方程组有无穷多解 其基础解系中有三个线性无关的解向量 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 例3 证 证明 非齐次线性方程组解的性质 三 非齐次线性方程组解的性质 证明 证毕 其中为对应齐次线性方程组的通解 为非齐次线性方程组的任意一个特解 非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax b的通解为 与方程组有解等价的命题 线性方程组有解 线性方程组的解法 1 应用克莱姆法则 2 利用初等变换 特点 只适用于系数行列式不等于零的情形 计算量大 容易出错 但有重要的理论价值 可用来证明很多命题 特点 适用于方程组有唯一解 无解以及有无穷多解的各种情形 全部运算在一个矩阵 数表 中进行 计算简单 易于编程实现 是有效的计算方法 例4求解方程组 解 解 例5求下述方程组的解 所以方程组有无穷多解 且原方程组等价于方程组 求基础解系 令 依次得 求特解 所以方程组的通解为 故得基础解系 另一种解法 则原方程组等价于方程组 所以方程组的通解为 齐次线性方程组基础解系的求法 四 小结 1 对系数矩阵进行初等变换 将其化为最简形 由于 令 2 得出 同时也可知方程组的一个基础解系含有
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