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引言 在理论研究和实际应用中 常常会遇到这样的问题 改变量 这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了 然而 对于较复杂的函数 差值 却是一个更复杂的表达式 不易求出其值 一种设想是 即线性化 从而把复杂问题化为简单问题 微分 就是实现这种线性化的一种数学模型 完 一 微分的概念 引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 问此薄片面积改变了多少 设薄片边长为x 面积为y 则 面积的增量为 关于 x的线性主部 当x 取 变到 边长由 其 记为 即 故 定义1设函数 称为函数 在点 处的微分 简称函数 的微分 记作 即 于是 从而 即导数是因变量的微分与自变量的微分之商 所以导数又 称为微商 因此函数的增量 可以用它的微分 近似的表 示出来 即对于函数增量 可以转化为 的计算 例如 又如 解 因为 由题设条件知 所以 解 完 解 半径伸长了 问面积增大了多少 设 厘米 厘米 完 定理1 函数在处可微的充分必要 条件是它在处可导 证明 必要性 在处可微 即在处可导且 充分性 即 在处可导 由无穷小的定义 有 从而 即在处可微 由定理2 4 1知 可导可微 基本初等函数的微分公式 基本初等函数的微分公式 基本初等函数的微分公式 完 微分四则运算法则 导数的四则运算法则 微分的四则运算法则 微分四则运算法则 微分四则运算法则 以乘积的微分运算法则为例 完 解 因为 所以 或利用微分形式不变性 完 解 因为 所以 完 复合函数的微分法 则复合函数 的微分为 由于 分公式为 或 由此可见 函数 的微分形式 总是 微分形式不变性表明 当变换自变量时 复合函数的微分法 微分形式不变形表明 当变换自变量时 复合函数的微分法 微分形式不变形表明 当变换自变量时 保持不变 另一变量的任一可微函数时 微分形式 完 解 设 求 设 则 与复合函数求导类似 可不写出中间变量 这样更加直接和方便 完 求复合函数的微分也 解 完 设 求 应用微分形式不变性有 解 已知 求 完 解 在等式的括号中填入适当 使等式成立 一般地 有 完 的函数 三 微分的几何意义 几何意义 如图 M N 当很小时 微分在近似计算中的应用 当 x 很小时 记作 x 1 有 y dy 即 f x0 x f x0 f x0 x 或 f x f x0 f x0 x x0 特别地 令 附近的近似公式 常用函数的近似计算公式 由微分近似公式 易得常用初等函数的近似公式 很小时 1 2 为弧度 3 为弧度 4 5 完 解 计算下列各数的近似值 1 2 1 2
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