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文档简介
第五节平面及其方程 一 平面的点法式方程 二 平面的一般方程 三 两平面的夹角 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 法线向量的特征 垂直于平面内的任一向量 设平面上的任一点为 必有 一 平面的点法式方程 平面的点法式方程 平面上的点都满足方程 不在平面上的点都不满足方程 该方程称为平面的方程 平面称为方程的图形 其中法向量 已知点 解 取 所求平面方程为 化简得 例1 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 二平面的法向量分别为 例2 由平面的点法式方程 平面的一般方程 法向量 二 平面的一般方程 三元一次方程 平面一般方程的几种特殊情况 平面通过坐标原点 平面通过x轴 平面平行于x轴 类似地可讨论 平面平行于y轴 平面平行于z轴 平面平行于xOy坐标面 类似地可讨论 平面平行于yOz坐标面 平面平行于zOx坐标面 常数 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 例3 设平面为 将三点坐标代入得 解 例4 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 作图方法 先在坐标轴上标出截距点 再用直线连接 定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角 通常取锐角 三 两平面的夹角 按照两向量夹角余弦公式有 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征 例5 解 故夹角 两平面的法向量为 例6一平面通过两点M1 1 1 1 和M2 0 1 1 且垂直于平面x y z 0 求它的方程 解设所求平面为 A x 1 B y 1 C z 1 0 例6一平面通过两点M1 1 1 1 和M2 0 1 1 且垂直于平面x y z 0 求它的方程 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 向量平行的充要条件 解 例7 化简得 令 所求平面方程为 解 例8 点到平面距离公式 1 平面的方程 熟记平面的几种特殊位置的方程 2 两平面的夹角 3 点到平面的距离公式 点法式方程 一般方程 截距式方程 注意两平面的位置特征 小结 思考题
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