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2015年普通高等学校招生全国统一考试新课标全国卷(文科)知识点检索号11.(2015新课标全国卷文科T1)已知集合A=xx=3n+2,nN,B=6,8,10,12,14,则集合AB中的元素个数为()A.5B.4C.3D.2【解题指南】将集合A中取n=0,1,2,3,4,求出集合A中的元素,然后求AB,从而确定元素个数.【解析】选D.因为A=2,5,8,11,14,17,B=6,8,10,12,14,所以AB=8,14.知识点检索号212.(2015新课标全国卷文科T2)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4) D.(1,4)【解题指南】先求出AB,再利用BC=AC-AB求解.【解析】选A.因为AB=(3-0,2-1)=(3,1),所以BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).知识点检索号233.(2015新课标全国卷文科T3)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-i B.-2+iC.2-i D.2+i【解析】选C.因为(z-1)i=1+i,所以z=(1+2i)ii2=2-i.知识点检索号544.(2015新课标全国卷文科T4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120【解析】选C.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10种,其中(3,4,5)为一组勾股数,共一种,所以3个数构成一组勾股数的概率为110.知识点检索号485.(2015新课标全国卷文科T5)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则AB=()A.3B.6C.9D.12【解析】选B.设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),右焦点为(c,0),依题意得c=2,ca=12,解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为x216+y212=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到x216+y212=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故AB=6.知识点检索号366.(2015新课标全国卷文科T6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【解题指南】利用锥体底面的弧长,确定圆锥底面半径,求出米堆的体积,然后合成斛.【解析】选B.设圆锥底面半径为r,则1423r=8,所以r=163,所以米堆的体积为1413316325=,故堆放的米约为1.6222.知识点检索号257.(2015新课标全国卷文科T7)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.12【解题指南】由S8=4S4求出首项,再由a10=a1+(10-1)d求出a10的值.【解析】选B.设等差数列的首项为a1,则S8=8a1+8(8-1)12=8a1+28,S4=4a1+4(4-1)12=4a1+6,因为S8=4S4,即8a1+28=16a1+24,所以a1=12,则a10=a1+(10-1)d=12+9=192.知识点检索号178.(2015新课标全国卷文科T8)函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.k-14,k+34(kZ)B.2k-14,2k+34(kZ)C.k-14,k+34(kZ)D.2k-14,2k+34(kZ)【解题指南】根据图象,利用五点法求出,的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选D.由五点作图知,14+=2,54+=32,解得=,=4,所以f(x)=cosx+4,令2kx+42k+,kZ,解得2k-14xt=0.01,是,循环;执行第二次,S=S-m=0.25,m=m2=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是,循环;执行第三次,S=S-m=0.125,m=m2=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是,循环;执行第四次,S=S-m=0.0625,m=m2=0.03125,n=4,S=0.0625t=0.01,是,循环;执行第五次,S=S-m=0.03125,m=m2=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是,循环;执行第六次,S=S-m=0.015625,m=m2=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是,循环;执行第七次,S=S-m=0.0078125,m=m2=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否,输出n=7.知识点检索号410.(2015新课标全国卷文科T10)已知函数f(x)=2x-1-2,x1,-log2(x+1),x1,且f(a)=-3,则f(6-a)=()A.-74B.-54C.-34D.-14【解析】选A.当a1时不符合题意,所以a1,即-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-74.知识点检索号3611.(2015新课标全国卷文科T11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20,则r=()A.1B.2C.4D.8【解析】选B.由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为124r2+r2r+r2+2r2r=5r2+4r2=16+20,解得r=2.知识点检索号712.(2015新课标全国卷文科T12)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=()A.-1B.1C.2D.4【解题指南】由函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,得出-x=2-y+a,从而确定y=f(x)的解析式,再利用f(-2)+f(-4)=1求出a的值.【解析】选C.因为函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,所以-x=2-y+a,解得f(x)=-log2(-x)+a,又f(-2)+f(-4)=1,所以-log22-log24+2a=1,解得a=2.知识点检索号2613.(2015新课标全国卷文科T13)数列an中a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和,若Sn=126,则n=.【解题指南】由an+1=2an确定数列an为首项a1=2,公比q=2的等比数列,然后利用等比数列的前n项和公式求解.【解析】因为an+1an=2,所以数列an是首项a1=2,公比q=2的等比数列,Sn=2(1-2n)1-2=126,即2n+1=128,解得n=6.答案:6知识点检索号1214.(2015新课标全国卷文科T14)已知函数fx=ax3+x+1的图象在点1,f1处的切线过点2,7,则a=.【解题指南】先对函数fx=ax3+x+1求导,求出在点1,f1处的切线方程.【解析】因为f(x)=3ax2+1,所以图象在点1,f1处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切点为1,f1,所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1.答案:1知识点检索号3115.(2015新课标全国卷文科T15)若x,y满足约束条件x+y-20,x-2y+10,2x-y+20,则z=3x+y的最大值为.【解析】画出可行域如图所示,目标函数y=-3x+z,当z取到最大值时,y=-3x+z的纵截距最大,即将直线移到点C时,x-2y+1=0,x+y-2=0,解得C(1,1),zmax=31+1=4.答案:4知识点检索号4516.(2015新课标全国卷文科T16)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C左支上一点,A0,66,当APF周长最小时,该三角形的面积为.【解题指南】APF周长最小时,P点是点A与双曲线C:x2-y28=1的左焦点的连线与双曲线的交点.【解析】由已知a=1,b=22,c=3,所以F(3,0),F(-3,0),又A0,66,所以|AF|=32+(66)2=15,APF周长l=|PA|+|PF|+|AF|,又|PF|-|PF|=2,所以|PF|=|PF|+2,所以l=|PA|+|PF|+2+15|AF|+17=32,当且仅当A,P,F三点共线时,APF周长最小,如图所示.设P(x,y),直线AF的方程为x-3+y66=1,联立得x-3+y66=1,x2-y28=1,消去x得6y2+36y-966=0,解得y=-86(舍)或y=26,则P(x,26).因为SAPF=SAFF-SPFF=12666-12626=126.答案:126知识点检索号1917.(2015新课标全国卷文科T18)(12分)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B.(2)若B=90,且a=2,求ABC的面积.【解题指南】(1)根据正弦定理将sin2B=2sin Asin C变为b2=2ac,再利用余弦定理求出cos B.(2)利用勾股定理及b2=2ac求出c,然后确定ABC的面积.【解析】(1)因为sin2B=2sin Asin C,由正弦定理得b2=2ac,因为a=b,所以a=2c.由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=c22ac=c2a=14.(2)因为B=90,所以a2+c2=b2,又b2=2ac,所以a2+c2=2ac,即a=c=2,所以SABC=1222=1.知识点检索号3918.(2015新课标全国卷文科T18)(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD,(1)证明:平面AEC平面BED.(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥EACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.【解题指南】(1)先证明AC平面BED,再证明平面AEC平面BED.(2)利用三棱锥EACD的体积为63求出AB的值,然后求出EAC,EAD,ECD的面积.【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE,又BDBE=B,故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=32x,GB=GD=x2.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得EG=32x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱锥EACD的体积VEACD=1312ACGDBE=624x3=63.故x=2.从而可得AE=EC=ED=6.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为5.故三棱锥EACD的侧面积为3+25.知识点检索号5119.(2015新课标全国卷文科T19)(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.xywi=18(xi-x)2i=18(wi-w)2i=18(xi-x)(yi-y)i=18(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61 469108.8表中wi=xi,w=18i=18wi.(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程.(3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题:年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回归线v=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=i=1n(ui-u)(vi-v)i=1n(ui-u)2,=v-u.【解析】(1)由散点图的变化趋势可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.(2)令w=x,先建立y关于w的线性回归方程.由于=i=18(wi-w)(yi-y)i=18(wi-w)2=108.81.6=68,=y-w=563-686.8=100.6,所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的回归方程为=100.6+68x.(3)由(2)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+6849=576.6,年利润z的预报值=576.60.2-49=66.32.根据(2)的结果知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12.所以当x=13.62=6.8,即x=46.24时,取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.知识点检索号4320.(2015新课标全国卷文科T20)(12分)已知过点A0,1且斜率为k的直线l与圆C:x-22+y-32=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围.(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求MN.【解题指南】(1)利用圆心到直线y=kx+1的距离小于1求出k的取值范围.(2)将直线y=kx+1与圆x-22+y-32=1联立,利用根与系数关系及向量数量积求解.【解析】(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73k0时,f(x)2a+aln2a.【解题指南】先对函数f(x)=e2x-aln x求导,再分a0,a0两种情况讨论函数的单调性,从而确定f(x)的零点的个数.(2)结合(1)求出函数f(x)的最小值.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2e2x-ax(x0).当a0时,f(x)0,f(x)没有零点;当a0时,因为y=e2x单调递增,y=-ax单调递增,所以f(x)在(0,+)上单调递增.由y=2e2x与y=ax的大致图象如图所示,存在交点A,则当xx0时,f(x)x0时,f(x)0,故f(x)存在唯一零点.(2)由(1),可设f(x)在(0,+)的唯一零点为x0,当x(0,x0)时,f(x)0.故f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2x0-ax0=0,所以f(x0)=e2x0-aln x0=a2x0+2ax0-2ax0-aln x0=a2x0+2ax0-(2ax0+aln x0)=a2x0+2ax0-a(2x0+ln x0),因为2e2x0-ax0=0,所以e2x0=a2x0,由两边取对数得:2x0=lna2x0,所以f(x0)=a2x0+2ax0-alna2x0+lnx0=a2x0+2ax0-alna2=a2x0+2ax0+aln2a2a+aln2a.故当a0时,f(x)2a+aln2a.知识点检索号5722.(2015新课标全国卷文科T22)(10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB是O的直径,AC是O的切线,BC交O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是O的切线.(2)若OA=3CE,求ACB的大小.【解析】(1)连结AE,由已知得,AEBC,ACAB.在RtABC中,由已知得,DE=DC,故DEC=DCE.连结OE,则OBE=OEB.又ACE+ABC=90,所以DEC+OEB=90,所以OED=90