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第十二章全等三角形 12 1全等三角形 英吉沙县实验中学 马朝平 把一块三角板按在纸上 画下图形 照图形剪下纸板 剪下的纸板与三角板大小 形状完全相同吗 它们能够完全重合吗 学习新知 观察思考 一 全等三角形的相关概念1 全等形的概念 用同一张底片冲洗出来的两张照片上的图形 放在一起也能够完全重合吗 能够完全重合的两个图形叫做全等形 两个图形全等 它们的形状一定相同 大小一定相等 形状相同 大小相同 观察 下面三组图形 它们是不是全等图形 为什么 下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形 它们有什么特点 思考 A C B D E 全等三角形的相关定义 F 下列两三角形是怎样由一个三角形得到另一个三角形 它们有什么特点 思考 B D C 一个三角形经过平移 旋转 翻折后所得到的三角形与原三角形全等 1 能够完全重合的两个三角形 叫全等三角形 2 把两个三角形重合到一起 重合的顶点叫做对应顶点 重合的边叫做对应边 重合的角叫做对应角 对应顶点是点A和点D 点B和点E 点C和点F 对应边是AB和DE AC和DF BC和EF 对应角是 A和 D B和 E C和 F 全等 用符号 表示 图中的 ABC和 DEF全等 记作 ABC DEF读作 ABC全等于 DEF 你能否直接从记作 ABC DEF中判断出所有的对应顶点 对应边和对应角 A B C D E F 注意 记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 两个全等三角形的位置变化了 对应边 对应角的大小有没有变化 由此你能得到什么结论 寻找各图中两个全等三角形的对应元素 观察与思考 E A D C B F 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 如图 ABC DFE AB DF BC FE AC DE 几何语言 ABC DFE A D B F C E 图形语言 全等三角形的性质 找对应元素的常用方法有两种 二 根据元素位置来推理1 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 3 公共边一定是对应边 公共角一定是对应角 对顶角一定是对应角 4 全等三角形中一对最短的边 或最小的角 是对应边 或对应角 一 从运动角度看1 翻转法 找到中心线 沿中心线翻折后能相互重合 从而发现对应元素 2 旋转法 三角形绕某一点旋转一定角度后能与另一三角形重合 从而发现对应元素 3 平移法 沿某一方向平移使两三角形重合来找对应元素 二 全等三角形的性质 两个全等三角形的位置变化了 对应边 对应角的大小有没有变化 由此你能得到什么结论 E A D C B F 二 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 知识拓展 解 1 将 OCA翻折可以使 OCA与 OBD重合 2 C B A D AOC DOB AC DB OA OD OC OB 1 如图所示 OCA OBD C和B A和D是对应顶点 1 OCA OBD说明这两个三角形可以重合 那么通过怎样的变换可以使这两个三角形重合 2 说出这两个三角形中相等的边和角 例题讲解 对应边为AB与AC AE与AD BE与CD 解 对应角为 BAE和 CAD 2 如图所示 已知 ABE ACD ADE AED B C 指出其他的对应边和对应角 1 能够完全重合的图形叫做全等形 能够完全重合的三角形叫做全等三角形 重合的顶点叫做对应顶点 重合的边叫做对应边 重合的角叫做对应角 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 找全等三角形对应元素的方法 注意挖掘图形中隐含的条件 如公共元素 对顶角等 3 在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式 知识小结 D 1 如图所示 ABC DEF 则此图中相等的线段 A 1对B 2对C 3对D 4对 检测反馈 解析 ACB A CB ACB A CB ACB A CB A CB A CB 即 ACA BCB A CB 30 ACB 110 ACA 1 2 110 30 40 故选D D 2 如图所示 ACB A CB A CB 30 ACB 110 则 ACA 的度数是 A 20 B 30 C 35 D 40 3 如图所示 找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形 解 对应边为AB与AD AC与AE BC与DE 对应角为 A与 A B与 D ACB与 AED 解析 方法1 可以发现 A是公共角 在两个三角形中 A的对边分别是BC和DE 所以BC和DE是一组对应边 而AB与AE显然不重合 所以AB与AD是一组对应边 剩下的AC与AE自然是一组对应边了 再根据对应边所对的角是对应角可得 B与 D是对应角 ACB与 AED是对应角 所以对应边为AB与AD AC与AE BC与DE 对应角为 A与 A B与 D ACB与 AED 方法2 沿A与BC和DE的交点O的连线将 ABC翻折180 后 它正好和 ADE重合 这时就可以找到对应边为A