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线性空间与欧几里得空间自测题1、 填空题 1、对欧几里得空间V中的任意向量，有，而且等号成立当且仅当 。 2、设与是V的两个线性子空间，如果+中的每个向量都可唯一的被表示成，则称+为这两个子空间的 。 3、两个同构的线性空间的维数 。 4、第二类正交变换的行列式的值等于 。 5、如果A是正交矩阵。若k为实数，使kA为正交矩阵，则k等于 。2、 选择题 6、下列的子集是的子空间的为（ ） A： B： C： C： 7、全体正实数的集合对于下面定义的加法与标量乘法：构成R上的线性空间，则的零元素为（ ）A：0 B: 1 C: 2 D: 3 8、若A是正交矩阵，则下列矩阵中仍为正交矩阵的是（多重选择，其中k是的整数）A:kA B: C:交换A的任两行所得的矩阵 D：把A的某行k倍加到另一行所得的矩阵 9、设A是欧几里得空间V关于基的度量矩阵，则A满足以下哪个条件时，是规范正交基？ （ ）A: A是正交矩阵 B：A为对称矩阵 C：为正交矩阵 D：A为单位矩阵 10、以下哪个结论不是两个线性子空间与的和为直和的等价命题：（ ）A：dimB: C: D: 若是的一个基，是的一个基，则，线性无关。 三、判断题 11、欧几里得空间中任一基下的度量矩阵必为实对称矩阵 （ ） 12、正交变换保持向量间的夹角不变 （ ） 13、在中，对向量规定，则 关于这一实函数成为欧几里得空间。 （ ） 14、当数域K和非空集合V固定时，只有惟一的一种方法定义线性空间。（ ）4、 计算题 15、集合与是的两个子空间，找出的一个基，并求的维数。 16、设U与W分别是的由生成的子空间，求U+W和UW 的基和维数。 17、在欧几里得空间中求以下各组向量的长度和夹角。 （1） （2） 18、求由欧几里得空间中的向量所生成的子空间的规范正交基。 19、在标准欧几里得空间中，求向量在由向量，生成的子空间上的正交投影。 20、设U是n维线性空间V的非平凡子空间，证明：存在不止一个V的子空间W，使 21、设为正交矩阵，且。证明：，这里是的代数余子式。 22、设为欧几里得空间V的两
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