一元二次方程学案(学生用).docVIP

初中数学辅导资料佳一教育-最专业的课程辅导机构北师大版九年级(上) 第二章：一元二次方程1. 认识一元二次方程：概念：只含有一个未知数，并且可以化为 (为常数，)的整式方程叫一元二次方程。构成一元二次方程的三个重要条件：、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。如：是分式方程，所以不是一元二次方程。、只含有一个未知数。、未知数的最高次数是2次。2. 一元二次方程的一般形式：一般形式： ()，系数中，一定不能为0，、则可以为0，所以以下几种情形都是一元二次方程：、如果，则得，例如：；、如果，则得，例如：；、如果，则得，例如：；、如果，则得，例如：。其中，叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式。 【例题】：将方程化成一元二次方程的一般形式. 3. 一元二次方程的解法：(1)、直接开方法：（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解） 形式： 举例：解方程： (2)、配方法：（理论依据：根据完全平方公式：，将原方程配成的形式，再用直接开方法求解.）举例：解方程： (3)、公式法：（求根公式：） 举例：解方程： (4)、分解因式法：（理论依据：，则或；利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。）【1】提公因式分解因式法：举例：、解方程： 、解方程： 【2】运用公式分解因式法：举例：、解方程： 、解方程： 【3】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法)：举例：解方程： 【4】其它常见类型举例：、解方程： 、解方程： （换元法）4. 一元二次方程的应用：、数字问题.、面积问题.(牢记有关面积的公式，熟练计算组合图形的面积、面积的转化.)、平均增长率(或降低率)问题.其基本关系式：，其中是增长(或降低)的基础量，是平均增长(或降低)率，是增长(或降低)的次数（常考的是两年期，即，），是增长(或降低)后的数量(总量)，增长为“+”，降低为“-”.、商品利润问题(重点).基本公式： 1、单件利润=单件进价 2、总利润=单件利润销售量、运动问题、动点问题。例题：将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？ 5. 常考题型及其相应的知识点：(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题： 例1：关于的一元二次方程有一根为0，则的值为_. 思路分析：有一根为0，说明有，可代入原方程求出. 注意：一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数的讨论：例2：一元二次方程 的一个根为，则另一个根为_.思路分析：先将已知的一个根代入原方程，解出未知系数，再解出此时一元二次方程的两根.(2)、判别式：，方程根的情况： 判别式与一元二次方程根的情况： 方程有两个不相等的实数根. 方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根). 方程没有实数根. 例1：关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_. 思路分析：方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有. 例2：方程的根的情况是( ). A、只有一个实数根. B、有两个相等的实数根. C、有两个不相等的实数根. D、没有实数根 思路分析：判别方程根的情况，之需要计算判别式的值与0比较. (2)、一元二次方程根与系数关系，韦达定理： 如果是一元二次方程 ()的两根，根据韦达定理，则有： 例1：已知一元二次方程的两根，则_，_. 例2：若方程的两根为，则的值为_. 例3：已知关于的一元二次方程的两实数根是，且 ，则的值是_. 【适时训练】（一）精心选一选 1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）（A） （B） （C） （D） 2、已知3是关于x的方程的一个解，则2a的值是（ ）（A）11 （B）12 （C）13 （D）143、关于的一元二次方程有实数根，则（ ）（A）0 （B）0 （C）0 （D）04、已知、是实数，若，则下列说法正确的是（ ）（A）一定是0 （B）一定是0 （C）或 （D）且5、若与互为倒数，则实数为（ ）（A） （B）1 （C） （D）6、若方程中，满足和，则方程的根是（ ）（A）1，0 （B）-1，0 （C）1，-1 （D）无法确定7、用配方法解关于x的方程x2 + px + q = 0时，此方程可变形为 ( ) （A） （B） （C） （D） 8、使分式 的值等于零的x是 ( )（A）6 （B）-1或6 （C）-1 （D）-69、方程的解是（ ）（A）1，2 （B）1，2 （C）、0，1，2 （D）0，1，210、某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为 ( )（A）x(x1)1035 （B）x(x1)10352 （C）x(x1)1035 （D）2x(x1)1035（二）细心填一填 1 .方程x(x-1)(x+1)=0的根是_2 方程的根是_3 .方程组的解是_ 4. 设方程x2+(m2-4)x+m=0的两个根互为相反数，则 m=_ 5 若 x1,x2是方程3x2-9x-1=0的两个根，则x12-4x1+x1x2-x2=_ 6 已知一元二次方程x2-2x-4=0的两根为x1,x2， 则以x1+x2,x1x2为两根的一元二次方程是_ 7 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的一组解是， 请写出符合要求的方程组_ 8 已知关于x,y的方程组有两个实数解， 则m的取值范围是_ 9 关于x的方程x2-(2a+1)x+a2+a=0的两个实根中，只有一个根大于5，则a的取值范围是_10 已知中，AB长为1，AC，BC的长是关于x的方程x2-2x+m=0的两个根， 则实数m的取值范围是 _二、填空题11.（2005年广东省）方程x2=x的解是_.12.（2005年武汉市）方程组的解为_.13.（2005年辽宁省十一市）一元二次方程x2-2x-1=0的根是_.14.（2005年成都市）方程x2-9=0的解是_.15.（2005年大连市）方程的解为_.16.（2004年重庆市北碚区）方程的解是_.17.（2004年青海省湟中县）正在修建的西塔（西宁塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、乙两队合作，12天可以完成.若设甲单独完成这项工程需要x天，则根据题意，可列方程为_.18.（2004年海口市）今年我省荔枝又喜获丰收.目前市场价格稳定，荔枝种植户普遍获利.据统计，今年全省荔枝总产量为50000吨，销售收入为61000万元.已知“妃子笑”品种售价为1.5万元/吨，其它品种平均售价为0.8万元/吨，求“妃子笑”和其它品种的荔枝产量各多少吨.如果设“妃子笑”荔枝产量为x吨，其它品种荔枝产量为y吨，那么可列出方程组为_. 20下列方程中，两根分别为 的是（ ） （A）x2+2x+4=0 (B)x2+2x-4=0 (C)x2-2x-4=0 (D)x2-2x+4=0 21若二次三项式x2+ax-1可分解为(x-2)(x+b)，则a+b的值为（ ） （A）-1 （B）1 （C）-2 （D）222解方程：，于是原方程变形为（ ）（A ）2y2-2y+1=0 (B)y2-y-1=0 (C)y2-y=0 (D)2y2-2y+2=023( ) (A)2 (B) -1 (C) 1 (D) 2或-124已知a,b,c是的三边长，且方程(c-b)x2+2(b-a)x+(a-b)=0有两个相等的实数根，那么这个三角形是（ ） （A）底边与腰不相等的等腰三角形 （B）等边三角形（C）三边均不相等的三角形 （D）直角三角形25已知关于x的方程x2-2x+k=0有实数根x1,x2则代数式x12+x22有（ ） （A）最大值2 （B）最小值2 （C）最大值4 （D）最小值4（三）认真答一答1、解方程（1）x249 （2）3x27x0 （3）（直接开平方法）（4）（用配方法） （5） （因式分解法） （6） （7）（x2）（x5）=2 （四）一元二次方程应用1、阅读下面的例题：解方程解：（1）当x0时，原方程化为x2 x 2=0，解得：x1=2,x2= - 1（不合题意，舍去）（2）当x0时，原方程化为x2 + x 2=0，解得：x1=1,（不合题意，舍去）x2= -2原方程的根是x1=2, x2= - 2 （3）请参照例题解方程2、合