高考数学一轮复习 6.5 数列的应用精品课件 理 新人教A版.ppt

6 5数列的应用 一 等差 等比数列的性质1 若 an bn 皆为等差数列 则 kan b an bn 分别是和数列 2 若 an 为等差数列 m n p q n 且m n p q 则ap aqam an 若2m p q 则2amap aq 等差 等差 考点分析 3 若 an 为等差数列 公差为d 则am am n am 2n am 3n 为数列 公差为 4 若 an 为等差数列 sn s2n s3n为其前n项 2n项 3n项的和 则sn s2n sn s3n s2n为数列 5 若 an bn 为等比数列 则 an bn kan k 0 都为数列 6 若 an 为等比数列 m n p q n 且m n p q 则amanapaq 若2m p q 则apaq 7 若 an 为等比数列 公比q 1 sn为其前n项和 则sn s2n sn s3n s2n为数列 等差 nd 等差 等比 等比 二 数列综合应用题的解题步骤1 审题 弄清题意 分析涉及哪些数学内容 在每个数学内容中 各是什么问题 2 分解 把整个大题分解成几个小题或几个 步骤 每个小题或每个小 步骤 分别是数列问题 函数问题 解析几何问题 不等式问题等 3 求解 分别求解这些小题或这些小 步骤 从而得到整个问题的解答 8 若 an 为等比数列 则am am t am 2t am 3t 为数列 等比 具体解题步骤如下框图 三 数列应用题常见模型1 银行储蓄单利公式利息按单利计算 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和y a 1 xr 2 银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄 本金为a元 每期利率为r 存期为x 则本利和y a 1 r x 3 产值模型原来产值的基础数为n 平均增长率为p 对于时间x的总产值y n 1 p x 4 分期付款模型a为贷款总额 r为年利率 b为等额还款数 则 已知 an 为等比数列 a3 2 a2 a4 求 an 的通项公式 分析 根据等比数列的定义及通项公式求解 考点一等差 等比数列性质的应用 题型分析 解析 解法一 设等比数列 an 的公比为q 则q 0 a2 a4 a3q 2q 2q 解得q 或3 当q 时 a1 18 an 18 n 1 2 33 n 当q 3时 a1 an 3n 1 2 3n 3 解法二 由a3 2 得a2a4 4 又a2 a4 则a2 a4为方程x2 x 4 0的两根 a2 a2 6a4 6或a4 当a2 时 q 3 an a3 qn 3 2 3n 3 当a2 6时 q a2 2 33 n an 2 3n 3或an 2 33 n 解得 评析 等比数列性质an amqn m am an ap aq p q m n m n p q n 是常用公式 注意应用 对应演练 11届惠州第一次调研考 若两个等差数列 an 和 bn 的前n项和分别是sn tn 已知求的值 解法一 解法二 可令sn 7n kn 7kn2 tn kn n 3 a5 s5 s4 7k 52 7k 42 63k b5 t5 t4 k 5 5 3 k 4 4 3 12k 解法三 即a1 b1 又即10a1 5d1 28b1 14d2 即2a1 2d1 7b1 7d2 由 解得b1 a1 d1 2a1 d2 a1 又 设数列 an bn 满足a1 b1 6 a2 b2 4 a3 b3 3 且数列 an 1 an n n 是等差数列 bn 2 是等比数列 求 an 和 bn 的通项公式 分析 由题意 先求出an 1 an 用累加法求 an 的通项公式 同理求bn 考点二等差数列 等比数列的综合应用 解析 由已知a2 a1 2 a3 a2 1 d 1 2 1 an 1 an a2 a1 n 1 d 2 n 1 1 n 3 an an 1 n 4 n 2 an 1 an 2 n 1 4 a3 a2 3 4 a2 a1 2 4 以上各式左右分别相加得an a1 2 3 n 1 n 4 n 1 1 4n 4 an n2 7n 18 n 2 当n 1时 也适合上式 an n2 7n 18 又b1 2 4 b2 2 2 q bn 2 4 n 1 bn 2 n n 评析 首先利用迭加法求出等差数列的通项公式 再求等比数列的通项公式 由于题目已告诉 bn 2 是等比数列 故可由b1 2 4与b2 2 2求得公比q 否则不成立 对应演练 一个等差数列 an 公差d不为零 中的部分项构成公比为q的等比数列 已知k1 2 k2 4 k3 12 1 求数列 kn 的通项公式 2 求数列 kn 的前n项和sn 1 解法一 是数列 an 的第kn项 又是 的第n项 a1 kn 1 d qn 1 a2qn 1 kn 1 kn 是以k2 k1为首项 公比为4的等比数列 kn 1 kn k2 k1 4n 1 2 4n 1 递推可得kn kn 1 2 4n 2 k2 k1 2 40 上述n 1个等式累加可得kn 4n 1 解法二 由a2 a4 a12成等比数列 得 a2 a12 即 a1 3d 2 a1 d a1 11d 6a1d 2d2 0 d 0或d 3a1 由d 3a1知 q 4 下同解法一 2 由kn 4n 1 可得sn 已知f x logax a 0 且a 1 设f a1 f a2 f an n n 是首项为4 公差为2的等差数列 1 若a为常数 求证 an 成等比数列 2 设bn anf an 若 bn 的前n项和是sn 当a 求sn 分析 利用函数的有关知识得出an的表达式 再利用表达式解决其他问题 考点三数列与函数的综合问题 解析 1 f an 4 n 1 2 2n 2 即logaan 2n 2 可得an a2n 2 为定值 an 为等比数列 2 bn anf an a2n 2logaa2n 2 2n 2 a2n 2 当a 时 bn 2n 2 2n 2 n 1 2n 2 sn 2 23 3 24 4 25 n 1 2n 2 2sn 2 24 3 25 4 26 n 2n 2 n 1 2n 3 得 sn 2 23 24 25 2n 2 n 1 2n 3 16 16 2n 3 24 n 2n 3 2n 3 n 2n 3 sn n 2n 3 评析 数列与函数 方程 不等式 解析几何等知识常常相互结合出题 解这类题目 常用的方法有 函数与方程思想 数形结合思想 分类讨论思想等 对应演练 已知二次函数f x x2 2 10 3n x 9n2 61n 100 其中n n 1 设函数f x 的图象的顶点的横坐标构成数列 an 求证数列 an 为等差数列 2 设函数f x 的图象的顶点的横坐标构成数列 dn 求数列 dn 前n项的和sn 3 对于 1 中的数列 an 求数列 cn 中的最大项与最小项 证明 二次函数f x x2 2 10 3n x 9n2 61n 100 n n 图象的顶点的横坐标为10 3n an 10 3n n n an 1 an 10 3 n 1 10 3n 3 数列 an 是等差数列 2 二次函数f x x2 2 10 3n x 9n2 61n 100 n n 的图象的顶点到y轴的距离为 10 3n dn 10 3n n n 数列 dn 的前3项为一个首项为7 公差为 3的等差数列 第4项开始为一个首项为2 公差为3的等差数列 数列 dn 前n项的和7n 3 n 3 12 2 n 3 n 4 n 3 n 4 sn 即sn 3 cn 数列 cn 的图象是以 1 为中心 以x y 1为渐近线的双曲线上的一些点 显然 n 2时cn的值最小 其值c2 1 n 3时cn的值最大 其值c3 3 若 是方程x2 x m2 0 m 0 的两实根 而且 成等比数列 1 求m的值 2 数列 an 的通项公式为an 且sn是它的前n项和 求证 log2m sn logm2 分析 根据方程根与系数的关系求出 与m的关系 从而得出m的值 利用裂项法求和sn 利用单调性证明不等式 考点四数列与方程 不等式的综合应用 解析 1 为方程x2 x m2 0 m 0 的两实根 2 4m2 0 m 且 m2 又 成等比数列 2 2 5 0 5m2 10 m 2 证明 sn a1 a2 an m log2m log2 logm2 1 要证log2m sn logm2 只要证 sn 1即可 n n 0 0 1 1 故 sn 1 得证 评析 在第一问中不能忽视 0这个条件 在第二问中求出sn 1 后 要根据单调性确定出sn的变化范围 从而加以比较 这是一道数列与方程相结合的综合性题目 已知数列 an 是公比大于1的等比数列 且 a15 sn a1 a2 an 求满足sn tn的最小正整数n 对应演练 设 an 的公比为q 依题意得 a1q9 2 a1q14 a1q4 1 即a1 q 1 0 a1 1 an 0 又sn 而tn sn sn tn 0 qn 1 q8 又q 1 n 1 8 n 9 满足sn tn的最小正整数n 10 考点五数列与解析几何的综合问题 已知点m 1 2 an 2 an bn 为直角坐标平面上的点 n n 1 若点m an bn在同一直线上 求数列 an 的通项公式 2 设dn dn为 dn 的前n项和 求证 dn 分析 1 由 求an 2 用裂项相消法求出dn 解析 1 m an bn三点共线 an 2n 1 2 证明 dk k 1 2 3 n dk 显然 dn 是一递增数列 dn 评析 利用解析几何有关的性质 公式建立数列的递推关系或通项和的关系 然后利用数列的知识解决问题 对应演练 已知曲线c y x2 x 0 过c上的点a1 1 1 作曲线c的切线l1交x轴于点b1 再过点b1作y轴的平行线交曲线c于点a2 再过点a2作曲线c的切线l2交x轴于点b2 再过点b2作y轴的平行线交曲线c于点a3 依次作下去 记点an的横坐标为an n n 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 an 的前n项和为sn 求证 ansn 1 1 曲线c在点an an 处的切线ln的斜率是2an 切线ln的方程是y 2an x an 由于点bn的横坐标等于点an 1的横坐标an 1 令y 0 得an 1 an 数列 an 是首项为1 公比为的等比数列 an 2 sn ansn 4 令t 则0 t ansn 4t 1 t 4 t 2 1 当t 即n 1时 4 t 2 1有最大值1 即ansn 1 考点六数列模型的应用问题 假设某市2008年新建住房400万平方米 其中有250万平方米是中低价房 预计在今后的若干年内 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8 另外 每年新建住房中 中低价房的面积均比上一年增加50万平方米 那么 到哪一年底 1 该市历年所建中低价房的累计面积 以2008年为累计的第一年 将首次不少于4750万平方米 2 当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 参考数据 1 084 1 36 1 085 1 47 1 086 1 59 解析 1 设中低价房的面积形成的数列为 an 由题意可知 an 是等差数列 其中a1 250 d 50 则an 250 n 1 50 50n 200 sn 250n 50 25n2 225n 令25n2 225n 4750 即n2 9n 190 0 而n是正整数 n 10 到2017年底 该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米 分析 1 要求学生会把实际问题转化为数学问题 sn 250n 50 25n2 225n 4750 2 a1 0 85bn bn 400 1 08n 1 2 设新建住房面积形成数列 bn 由题意可知 bn 是等比数列 其中b1 400 q 1 08 则bn 400 1 08 n 1 由题意可知an 0 85bn 即50n 200 400 1 08 n 1 0 85 当n 5时 a5 0 85b5 当n 6时 a6 0 85b6 满足上述不等式的最小正整数n为6 到2013年底 当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85 评析 解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题 通过反复读题 列出有关信息 转化为数列的有关问题 这也是数学实际应用的具体体现 对应演练 某地区原有木材存量为a 且每年增长率为25 因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b 设an为n年后该地区森林木材存量 1 求an的表达式 2 为保护生态环境 防止水土流失 该地区每年的森林木材存量不少于a 如果b a 那么该地区今后会发生水土流失吗 若会 需要经过几年 取lg2 0 30 1 解法一 设第一年的森林木材存量为a1 第n年后的森林木材存量为an 则a1 a 1 b a b a2 a1 b 1 b a3 a2 b 3a 2 1 b an na n 1 n 2 1 b na 4 n 1 b n n 解法二 设第n年木材存量为an 则第n 1年存量为an 1 n 2 故an an 1 1 b 即an an 1 b n 2 所以an 4b an 1 4b n 2 所以 an 4b 组成以a1 4b为首项 为公比的等比数列 所以an 4b a1 4b n 1 即an 4b a 5b n 1 na 4 n 1 b n n 2 当b a时 若an5 所以n 7 2 答 经过8年后该地区就开始水土流失 1 深刻理解等差 比 数列的性质 熟悉它们的推导过程是解题的关键 两类数列性质既有类似的部分 又有区别 要在应用中加强记忆 同时 用好性质也会降低解题的运算量 从而减少差错 2 等比数列的前n项和公式要分两种情况 公比等于1和公比不等于1 最容易