快餐店问题.doc

快餐店问题参赛队员 ： 队员1： 黄晨俊 队员2： 黄端 队员3： 吴凯瑞 队员信息统计: 学院专业班级姓名学号联系方式队长1生命科学与理学院1黄晨俊2009675115283526611队员2生命科学与理学院1黄端2009676613281991972队员3生命科学与理学院32009670615283525846快餐店问题四川农业大学 黄晨俊 黄端 吴凯瑞摘要本文考虑的是快餐店如何获得最高利润问题。影响快餐店利润的因素主要有顾客对等待时间的态度；当宣布“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾客的增多之间的关系等。我们在模型中主要从以上二个因素来考虑对快餐店能获利润进行预测。根据此模型得到了顾客平均到达率，快餐店平均服务率来分析此问题。我们运用运筹学中排队论模型对快餐店排队系统进行优化,在常规优化方案的基础上提出进一步的优化方案。通过优化不仅提高了服务效率,而且增强了顾客满意度,增加了经济效益。关键词：快餐店排队论数学模型运筹学优化一、 问题的提出如何吸引更多的顾客以获取更高的利润是每一位快餐店老板最关心的问题.除了增加花色、提高品味、保证营养、降低成本之外，快餐店应在其基本特点“快”字上下功夫.有人向老板建议，公开向顾客宣布：如果让哪位顾客等待超过一定时间(譬如3分钟)，那么他可以免费享用所订的饭菜，提建议者认为这必将招揽更多的顾客，由此带来的利润一定大于免费奉送造成的损失.但是老板希望对于利弊有一个定量的分析.告诉他在什么条件下作这种承诺才不会亏本，更进一步，他希望知道应该具体地作几分钟的承诺，利润能增加多少。二、 问题分析本问题是关于快餐店利润的问题。随着经济水平的提高,外出到快餐店用餐的人越来越多,由于服务生产与消费的同步性、服务的不可储藏性,以及顾客到达的随机性,让顾客进行排队等待是不可避免的。排队等待通常出现在服务的最开始阶段,它会对顾客如何看待接下来的服务产生“晕轮”的效果我们首先从顾客进入快餐店他在订餐处订餐的起始时刻出发，我们规定顾客定餐后就拿到一张收据，上面标明时间为起始时刻，接着服务在厨房进行，厨房只有一位厨师，按订单到达的顺序配餐，配好一份立即送往取餐处 .最后，服务员将饭菜交给顾客，并核对收据，若发现顾客等待时间超过店方的承诺，则将所收款项如数退还。这个问题建模的关键有二：一是对顾客到达、服务时间、排队规则等作什么样的假设；二是当宣布“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾客的增多之间的关系应该用什么规律描述.对于前者，M/M/1模型是一个合理的、简化的选择；对于后者，我们将在直观分析的基础上用最简单的定量关系表示出来。三、模型假设与符号说明1、由于顾客较多，而服务员又相对较少，故我们可认为在各段时间段中顾客源是无限的，且顾客单独到来且相互独立。2、每个服务员的工作效率是随机的，很难对其进行精确的分析。所以由一般统计规律，认为其满足指数分布，且服务员之间无差异。3、顾客在快餐店的服务服从M/M/1模型。4、店方承诺等待时间超过u的顾客免费享用订餐，u越小则顾客越多，c越小，在一定范围内设c与u成正比，同时又存在u的最大值u0，当uu0时快餐店的承诺对顾客无吸引力，相当于不作承诺。5、顾客在快餐店的服务服从M/M/1模型；顾客平均到达率为=1/c,c为平均到达间隔，在未宣布承诺时c=c；6、快餐店平均服务率=1/d,d为平均服务时间；dc。四、 模型的建立与求解首先，根据本讲对M/M/1模型的分析，顾客等待时间(记作随机变量Y)服从参数-的指数分布，即 （5.7）对于等待时间为Y的顾客设店方获得的利润为(Y)，则在宣布承诺时间为u的情况下有 （5.8）利润的期望值为 （5.9）用（.7）式代入得 （5.10）因为顾客到达的平均间隔为c，所以单位时间利润的期望值为 （5.11）建模的目的是确定承诺时间u使利润J(u)最大.下面我们根据对于c和u关系的假设确定函数c(u).因为可以假定c(0)=0(理解为u时顾客将无穷多)，当uu时c(u)=c(因为这时相当于不作承诺)，所以若假设在0uu时c与u成正比，函数c(u)的图形就如图5（见下）所示，并且由于dc的基本要求,必须u，于是c(u)可表为 （5.12）将(5.12)式代入(5.11)式得 (5.13) 图5-5其中 (5.14)J(u)中除u外均为已知常数，问题化为求u使J(u)最大. 对于(.13)式的J(u)应按u的不同范围分别求解.当时，用微分法求出的最优值u应满足 (5.15)且算出J的最大值为 5.16)当uu，显然u时J()最大，且 (5.17)比较和可知，当且仅当时，所以J()最大值问题的解应为 (5.18)其中由(5.15)式确定.这就是说，对于给定的p、q、和d，以及按(5.14)、(5.15)式算出的，仅当时,才可承诺服务慢了免费供餐，并且承诺时间为时利润最大.进一步分析可以作承诺的条件 (5.19)根据(5.15)式，如果用方程 1)条件(5.19)可以表为 (5.22)因为(5.14)式中的是、的函数，即 (5.20若记 (5.21)则当、给定时快餐店可以作承诺的条件(5.22)，应该表为平均服务时间d满足 (5.22)在这个条件下最优承诺时间由(5.21)式确定.与不作承诺时的利润J()相比，此时的利润为 (5.24)五 .模型的评价1.模型的优点：（1）充分利用数理统计和排队论的模型。（2）合理的规定了起始时刻和服务时间。（3）充分的进行对比，方法较为实用。（4）用适当的方法有效规划承诺时间。2模型的缺点：（1）长远规划刻画不够详细。（2）人为因素影响没有充分考虑。六、 参考文献1运筹学教材编写组编.运筹学（第三版）M 清华大学出版社 2006年2 熊启才.数学建模方法及应用M 重庆大学出版社