高中数学三角函数9三角函数的简单应用教学案北师大版.docx

9 三角函数的简单应用讲一讲1某海滨浴场的海浪高度y(单位：m)是时间t(0t24，单位：h)的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，函数yf(t)的图像可以近似地看成函数yAcos(t)b(A0，0)的图像(1)根据上表数据，求yAcos(t)b的解析式；(2)依据规定，当海浪高度高于1 m时才对冲浪者开放，请依据(1)的结论，判断一天内从上午到晚上(8：0020：00)，开放冲浪场所的具体时间段，有多长时间可供冲浪者进行活动？尝试解答(1)由表中的数据，知最小正周期T12小时，0，故函数解析式为yAcos tb.由t0时，y1.5得Ab1.5，由t3时，y1.0得b1，A0.5，故函数解析式为y0.5cos t1.(2)由题意可知，当y1时才对冲浪者开放，即0.5cos t11，cos t0，则2kt2k，kZ，即12k3t12k3(kZ)，又8t20，k1，9t0，0)(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m?解：(1)依题意知T12，故，h12.2，A1612.23.8，所以d3.8sin(t)12.2；又因为t4时，d16，所以sin()1，所以，所以d3.8sin(t)12.2.(2)t17时，d3.8sin()12.23.8sin12.215.5(m)(3)令3.8sin(t)12.210.3，有sin(t)，因此2kt2k(kZ)，所以2kt2k2，kZ，所以12k8t12k12.令k0，得t(8，12)；令k1，得t(20，24)故这一天共有8小时水深低于10.3 m.讲一讲2如图所示的为一个观览车示意图，该观览车的半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m，60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面的距离为h.(1)求h与之间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t之间的函数关系式；(3)求缆车首次到达最高点所用的时间尝试解答(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为，故点B的坐标为(4.8cos()，4.8sin()，h5.64.8sin()5.64.8cos (0)(2)点A在圆上转动的角速度是 rad/s，故t秒转过的弧度数为t，h5.64.8cos ，t0，)(3)到达最高点时，h10.4 m.由cos t1，得t，t30.缆车首次到达最高点所用的时间为30 s.解答三角函数应用题的一般步骤：练一练2如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为 m，圆环的圆心距离地面的高度为1 m，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处(1)试确定在时刻t(单位：s)时蚂蚁距离地面的高度h(单位：m)；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过 m?解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设t s时蚂蚁到达点P，则蚂蚁转过的角的弧度数为tt，于是点P的纵坐标ysin(t)cos t.h1y1cos t(t0)(2)由1cos t得cos t，又由0t60，得0t2，t，解得10t15.9，得sin，x，x0)，则A4，T0.8，将(0，4)代入函数解析式中，有sin 1，得到，故函数解析式为y4sin4cos t.答案：y4cos t 6. 如果某地夏天从814时用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b.如图所示 (1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式解：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度(2)观察题图可知，从814时的图像是yAsin(x)b的半个周期的图像，A(5030)10，b(5030)40.148，.y10sin40.将x8，y30代入上式，解得，所求解析式为y10sin40，x8，14一、选择题1为了使函数ysin x(0)在区间0，1上至少出现50次最大值，则的最小值是()A98B.C. D100解析：选B由49T1，得T，即，.2. 如图为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系yAsin(x)2，则有()A，A3 B，A3C，A5 D，A5解析：选A依题意A3，且水轮每15 s转一圈，故周期T15，.3一简谐运动的图像如图，则下列判断正确的是()A该质点的振动周期为0.7 sB该质点的振幅为5 cmC该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大D该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大解析：选B周期为2(0.70.3)0.8 s，故A错；由题中图像可知，振幅为5 cm，故B正确；在最高点时，速度为零，加速度最大，故C，D错4下表是某城市2011年月平均气温(单位：F).月份123456平均气温21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均气温73.171.964.753.539.827.7若用x表示月份，y表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是()Ay26cos x By26cos 46Cy26cos 46 Dy26cos x46解析：选C由数据得到，从1月到7月是上升的趋势，只有C满足要求二、填空题5一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s3cos(t)，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于_解析：因为周期T，所以2，则l.答案：6. 如图是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的振动函数的一个解析式为_解析：设函数的解析式为yAsin(t)(t0)由图像知A2，T2(0.50.1)0.8(s)，所以，y2sin(x)又0.1，所以.所以函数解析式为y2sin(t)(t0)答案：y2sin(t)(t0)7在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，做上下自由振动已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1 cm和s2 cm分别由下列两式确定：s15sin(2t)；s210cos 2t.则在时间t时，s1与s2的大小关系是_解析：当t时，s15，s25，s1s2.答案：s1s28(江苏高考)函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图像如图所示，则f(0)的值是_解析：由图可知：A，所以T，2，又函数图像经过点(，0)，所以2，则，故函数的解析式为(x)sin(2x)，所以(0)sin.答案：三、解答题9. 如图，表示电流与时间t的关系式Asin(t)(A0，0)在一个周期内的图像 (1)试根据图像写出Asin(t)的解析式：(2)若函数Asin(t)在任意一段秒的时间内能同时取最大值A和最小值A，那么正整数的最小值为多少？解：(1)由题图可知A300，T()，所以100.又因为(，0)在函数图像上，所以1002k，kZ，所以2k，kZ，所以300sin(100x)；(2)依题意有T，即.所以200，又因为N，所以的最小正整数为629.10海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是在某港口某季节每天的时间与水深关系表：时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并求出函数的解析式；(2)一条货船的吃水深(船底与水面的距离)为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，通过画草图可知用函数yAsin(x)h(A0，0)来刻画水深与时间之间的对应关系由