M阶差数列通项的求法.doc

m阶差数列通项的求法摘要:人类研究数列已经有悠久的历史,有的数学家在这个领域里突破了许多难关,就一般的等差数列、等比数列的通项的教求法，在高中教材中已经给出，并介绍了探索的思想方法，但就解决一般的数列的通项求法则采用转化的方法比较灵活，对于初学者来说比较难于把握，为了给一般数列建立一个模型，本文着重研究m 阶差数列通项的求法，首先，任何课题的研究，不可避免地与已知概念相联系，以已知概念为基础。笔者从大量的等差数列（一阶差数列）中发现，等差数列的通项是项数的一次函数，试设想二阶差数列、三阶差数列m 阶差数列的通项也是项数的二次、三次m次函数，在文中详尽介绍函数表达式的存在性，建立m阶差数列通项的一个模型用连续系统来证明离散化问题。关键词：等差数列（一阶差数列）、二阶差数列、三阶差数列、m阶差数列。定义、一个数列中、每后一项与前一项的差、构成一个新的数列、若在这个新数列中后一项与前一项的差相等、原数列称为二阶差数列、类似地若三次、m次差相等、则称为三阶差数列m阶差数列。下面研究，探索m阶差数列通项的求法。大家熟知的自然数列1、2、3、n 的通项Sn=n,Sn是n的一次函数，又如1、3、5、7、9的通项Sn=2n-1，Sn是n的一次函数，那么是不是所有的一阶数列的通项都是序数n的一次函数呢，我们可以通过证明来回答这个问题。设Sn=an+b（a,b为待定常数且a0）1N12345SnA+b2a+b3a+b4a+b5a+b(5a+b)-(4a+b)=( 4a+b)-( 3a+b)= ( 3a+b)- ( 2a-b)= ( 2a+b)- ( a+b)=a差为一定值a，那就是说所有的一阶差数列的通项都是序数n的一次函数，研究二价差数列有两个很有名的例子。例1、 求和1+2+3+n解：记S1=1, S2=1+2=3, S3=1+2+3=6, S4=1+2+3+4=10, Sn=1+2+3+n, 1 3 6 10 2 3 4 1 1所以二阶差相等，是二价差数列。设二阶差数列的通项为Sn=an2+bn+cN=1时，a+b+c=1,n=2时4a+2b+c=3,n=3时9a+3b+c=6,联立成立方程组， 解关于a、b、c为未知数的方程组得： 所以通项为：Sn=n2+n=即1+2+3+n=，这跟教材中所得结果是一致的。于是有下面的命题：命题，二阶差数列的通项可以用序数n的二次函数表示。证明：设Sn=an2+bn+c(sn表示通项，a、b、c为待定常数，n为序数，即项数)，于是有，s1=a+b+c,s2=4a+2b+c,s3=9a+3b+cSn=an2+bn+c，因a+b+c, 4a+2b+c, 9a+3b+c, a(n-1)2+b (n-1)+c, an2+bn+c,3a+b, 5a+b （2n-3）a+b ,(2n-1)a+b 2a, 2a所以序数n的二次函数的二阶差为定值2a即二阶差数列的通项可以用序数的n的二次函数表示。例2、求知，12+22+32+n2解：记S1=12=1 S2=12+22=5 S3=12+22+32=14 S4=12+22+32+42=30 S5=12+22+32+42+52=55 S6=12+22+32+42+52+62=911 5 14 30 55 91 4 9 16 25 36 5 7 9 11 2 2 2此数列为三阶差数列，通项可用序数n的三次函数表示，设Sn=an3+bn2+cn+d(a、b、c、d为待定常数，Sn为通项)当n=1、2、3、4时，分别有S1=1,S2=5,S3=14,S4=30,代入所设函数关系中，得解此方程组,得Sn=n3+n2+n=这与教材所得结果是一致的，于是有下面的命题：命题，三阶差数列的通项可以用序数n的三次函数表示。证明：设自变量为序数n的三次函数表达式为Sn=an3+bn2+cn+d(a、b、c、d为待定常数，Sn为通项)所以有，S1=a+b+c+d,S2=8a+4b+2c+d,S3=27a+9b+3c+d,S4=64a+16b+4c+d S5=125a+25b+5c+dSn-3=a(n-3)3+b(n-3)2+c(n-3)+d Sn-2=a(n-2)3+b(n-2)2+c(n-2)+d Sn-1=a(n-1)3+b(n-1)2+c(n-1)+d Sn=an3+bn2+cn+d 记A1=s2-s1, A2=S3-S2,A3=S4-S3An-1=Sn-Sn-1则A1=7a+3b+c,A2=19a+5b+c,A3=37a+7b+c A4=61a+9b+c,An-3=(3n2-15n+19)a+(2n-5)b+c An-2=(3n2-9n+7)a+(2n-3)b+c An-1=(3n2-3n+1)a+(2n-1)b+c记B1=A2-A1，B2=A3-A2，B3=A4-A3，Bn-2=An-1-An-2B1=12a+2b B2=18a+2b B3=24a+2b Bn-3=(6n-12)a+2b, Bn-2=(6n-6)a+2b记C1=B2-B1, C2=B3-B2, Cn-3=Bn-2-Bn-3C1=6a, C2=6a,Cn-3=6a,即三次差之后为定值6a，关于序数n的三次函数的阶差相等，构成一个三阶差数列，因此三阶差数列的通项可用序数n的三次函数表示。由以上对一阶差数列、二阶差数列、三阶差数列的研究结果表明：命题，m阶差数列的通项可用序数n的m次函数表示。证明：设序数n的m次函数表达式为： Sn=a0nm+a1nm-1+a2nm-2+am(其中，a0、a1、a2am为待定常数，Sn为通项)首先证明表达式的存在性，n=1,2,3,m+1时，有方程组：(n+1)(3)(1)(2)线性方程组的系数行列式为：0（范德蒙行列式）2根据克莱姆法则，线性方程组系数行列式不等于零，方程组有唯一解3。因此，表达式存在且待定常数可求。下面证明序数n的m次函数表示的是一个m阶差数列，若用二阶差、三阶差的方法证明，序数n的m次函数相减m次后差为定值，则操作起来会比较麻烦，且不易撑握，我们不妨换一种方法，把问题转化为求导：定义，函数y=f(x)在x0的某领域内有定义，设在x0自变量x的改变量是x，相应函数的改变量是y=f(x0+x)-f(x0),如果极限 存在称函 f(x)在点x0可导（或存在导数），此极限称为函数f(x)在点x0的导数（或微商）表为，f(x0)或即f(x0)= 或= 4在求函数y=f(x)的导数中，xR，实数是连续的，在我们所讨论的问题中，自变量n是连续自然数，是离散的。因此所以对Sn=a0nm+a1nm-1+a2nm-2+am求m阶导数，即：一阶导数=ma0nm+(m-1)a1nm-1+(m-2)a2nm-2+am-1二阶导数=m(m-1)a0nm-2+(m-1)(m-2)a1nm-3+am-2M阶导数s(nm)=m(m-1)(m-2)3、2、1a0=m!a0 5这就是说序数n的m次函数，sn=a0nm+a1nm-1+a2nm-2+am为通项的数列，相减m次后，差为定值m!a0,因此，此数列为m阶差数列