高考数学一轮复习 6.4 数列的通项及数列求和精品课件 新人教A版.pptVIP

要点梳理1 若已知数列 an 满足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用求数列的通项an 2 若已知数列 an 满足 f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用求数列的通项an 6 4数列的通项及数列求和 累加法 累积法 基础知识自主学习 3 等差数列前n项和sn 推导方法 等比数列前n项和推导方法 乘公比 错位相减法 sn na1 q 1 q 1 倒序相加法 4 常见数列的前n项和 1 1 2 3 n 2 2 4 6 2n 3 1 3 5 2n 1 4 12 22 32 n2 5 13 23 33 n3 n2 n n2 5 1 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 2 拆项相消 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限项再求和 3 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 4 倒序相加 例如 等差数列前n项和公式的推导 6 常见的拆项公式有 基础自测1 已知等比数列 an a1 3 且4a1 2a2 a3成等差数列 则a3 a4 a5等于 a 33b 72c 84d 189解析由题意可设公比为q 则a2 a1q a3 a1q2 4a2 4a1 a3 4a1q 4a1 a1q2 又a1 3 q 2 a3 a4 a5 a1q2 1 q q2 3 4 1 2 4 84 c 2 如果数列 an 满足a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首项为1 公比为3的等比数列 则an等于 a b c d 解析a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 an c 3 已知数列 an 的通项公式是an 其中前n项和sn 则项数n等于 a 13b 10c 9d 6解析 an sn n n 1 而 d 4 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和为 a 2n n2 1b 2n 1 n2 1c 2n 1 n2 2d 2n n2 2解析sn 2n 1 2 n2 c 5 数列的前n项和为 a b c d 解析由数列通项公式得前n项和 b 题型一由递推公式求通项公式 例1 分别求满足下列条件的数列的通项公式 1 设 an 是首项为1的正项数列 且 n 1 an 1an 0 n 1 2 3 2 已知数列 an 满足an 1 a1 2 依据已知数列的递推关系适当地进行变形 可寻找数列的通项的差an an 1或通项的商的规律 思维启迪 题型分类深度剖析 解 1 方法一 数列 an 是首项为1的正项数列 anan 1 0 1 0 令 t n 1 t2 t n 0 n 1 t n t 1 0 t 或t 1 舍去 即 方法二由 n 1 an 1an 0 得n an 1 an 1 an 0 即 an 1 an n 1 an 1 nan 0 an 0 an 1 an 0 n 1 an 1 nan 0 即 2 将已知递推式化为将以上 n 1 个式子相加得 探究提高已知递推关系求通项公式这类问题要求不高 主要掌握由a1和递推关系先求出前几项 再归纳 猜想an的方法 以及累加 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 累乘 an 等方法 知能迁移1由已知在数列 an 中a1 1 求满足下列条件的数列的通项公式 1 an 1 2 an 1 2an 2n 1 解 1 因为对于一切n n an 0 因此由an 1 得即 数列是等差数列 n 1 2 2n 1 即an 2 根据已知条件得即 数列是等差数列 即an 2n 1 2n 1 题型二错位相减法求和 例2 设数列 an 满足a1 3a2 32a3 3n 1an n n 1 求数列 an 的通项 2 设bn 求数列 bn 的前n项和sn 1 由已知写出前n 1项之和 两式相减 2 bn n 3n的特点是数列 n 与 3n 之积可用错位相减法 解 1 a1 3a2 32a3 3n 1an 当n 2时 a1 3a2 32a3 3n 2an 1 思维启迪 得3n 1an an 在 中 令n 1 得a1 适合an an 2 bn bn n 3n sn 3 2 32 3 33 n 3n 3sn 32 2 33 3 34 n 3n 1 得2sn n 3n 1 3 32 33 3n 即2sn n3n 1 探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列 3n 1an 的前n项和 从而利用an与sn的关系求出通项3n 1an 进而求得an 另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法 但值得注意的是 这种方法运算过程复杂 运算量大 应加强对解题过程的训练 重视运算能力的培养 知能迁移2 2008 全国 文 19 在数列 an 中 a1 1 an 1 2an 2n 1 设bn 证明 数列 bn 是等差数列 2 求数列 an 的前n项和sn 1 证明 an 1 2an 2n bn bn 1 bn 1 即bn 1 bn 1 b1 1 故数列 bn 是首项为1 公差为1的等差数列 2 解由 1 知 bn n an n 2n 1 则sn 1 20 2 21 n 1 2n 2 n 2n 12sn 1 21 2 22 n 1 2n 1 n 2n两式相减 得sn n 2n 1 20 21 2n 1 n 2n 2n 1 题型三分组转化求和 例3 求和sn 1 数列的通项an 2 求sn可用分组求和法 解和式中第k项为 思维启迪 探究提高先将求和式中的项进行适当分组调整 使之每一个组为等差或等比数列 然后分别求和 从而得出原数列的和 它是通过对数列通项结构特点的分析研究 将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和的一种求和方法 解前n项和为sn 1 1 1 4 7 3n 2 设s1 当a 1时 s1 n 当a 1时 s1 知能迁移3求下列数列的前n项和 s2 1 4 7 3n 2 当a 1时 sn s1 s2 当a 1时 sn s1 s2 题型四裂项相消法求和 例4 12分 已知数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和sn满足 1 求sn的表达式 2 设bn 求 bn 的前n项和tn 解 1 an sn sn 1 n 2 sn sn 1 sn 即2sn 1sn sn 1 sn 3分由题意sn 1 sn 0 式两边同除以sn 1 sn 得 数列是首项为公差为2的等差数列 4分 1 2 n 1 2n 1 sn 6分 2 又bn 8分 tn b1 b2 bn12分使用裂项法求和时 要注意正负项相消时消去了哪些项 保留了哪些项 切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 实质上造成正负相消是此法的根源与目的 探究提高 知能迁移4已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第二项 第五项 第十四项分别是一个等比数列的第二项 第三项 第四项 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn n n sn b1 b2 bn 是否存在最大的整数t 使得对任意的n均有sn 总成立 若存在 求出t 若不存在 请说明理由 解 1 由题意得 a1 d a1 13d a1 4d 2 整理得2a1d d2 a1 1 解得d 2 d 0 舍 an 2n 1 n n 2 bn sn b1 b2 bn假设存在整数t满足sn 总成立 又sn 1 sn 0 数列 sn 是单调递增的 s1 为sn的最小值 故 即t 9 又 t n 适合条件的t的最大值为8 方法与技巧1 求数列通项的方法技巧 1 通过对数列前若干项的观察 分析 找出项与项数之间的统一对应关系 猜想通项公式 2 理解数列的项与前n项和之间满足an sn sn 1 n 2 的关系 并能灵活运用它解决有关数列问题 2 an的两种常见变形an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 累加法 an a1 累乘法 思想方法感悟提高 3 数列求和的方法技巧 1 倒序相加 用于等差数列与二项式系数相关联的数列的求和 2 错位相减 用于等差数列与等比数列的积数列的求和 3 分组求和 用于若干个等差或等比数列的和数列的求和 失误与防范1 直接用公式求和时 注意公式的应用范围和公式的推导过程 2 重点通过数列通项公式观察数列特点和规律 在分析数列通项的基础上 判断求和类型 寻找求和的方法 或拆为基本数列求和 或转化为基本数列求和 求和过程中同时要对项数作出准确判断 3 含有字母的数列求和 常伴随着分类讨论 一 选择题1 等差数列 an 的通项公式an 2n 1 数列bn 其前n项和为sn 则sn等于 a b c d 以上都不对 定时检测 解析 an 2n 1 答案b 2 已知数列 an 满足a1 1 an 1 an 2n 则a10等于 a 1024b 1023c 2048d 2047解析利用叠加法及等比数列求和公式 可求得a10 210 1 1023 b 3 已知数列 an 的前n项和sn n2 4n 2 则 a1 a2 a10 等于 a 66b 65c 61d 56解析当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 n2 4n 2 n 1 2 4 n 1 2 2n 5 a2 1 a3 1 a4 3 a10 15 a1 a2 a10 1 1 2 64 66 a 4 数列1 1 2 1 2 4 1 2 22 2n 1 的前n项和sn 1020 那么n的最小值是 a 7b 8c 9d 10解析 1 2 22 2n 1 2n 1 sn 2 22 2n n n 2n 1 2 n 若sn 1020 则2n 1 2 n 1020 n 10 d 5 若数列 an 的通项为an 4n 1 bn n n 则数列 bn 的前n项和是 a n2b n n 1 c n n 2 d n 2n 1 解析a1 a2 an 4 1 1 4 2 1 4n 1 4 1 2 n n 2n n 1 n 2n2 n bn 2n 1 b1 b2 bn 2 1 1 2 2 1 2n 1 n2 2n n n 2 c 6 数列an 其前n项之和为 则在平面直角坐标系中 直线 n 1 x y n 0在y轴上的截距为 a 10b 9c 10d 9解析数列的前n项和为 直线方程为10 x y 9 0 令x 0 得y 9 在y轴上的截距为 9 b 二 填空题7 等比数列 an 的前n项和sn 2n 1 则 解析当n 1时 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 又 a1 1适合上式 an 2n 1 4n 1 数列 是以 1为首项 以4为公比的等比数列 8 已知数列2008 2009 1 2008 2009 这个数列的特点是从第二项起 每一项都等于它的前后两项之和 则这个数列的前2009项之和s2009等于 解析由题意an 1 an 1 an an an 2 an 1 两式相加得an 2 an 1 an 5 an 1 即 an 是以6为周期的数列 2009 334 6 5 a1 a2 a2009 a1 a2 a3 a4 a5 2008 2009 1 2008 2009 1 即s2009 1 1 9 有限数列 an 中 sn为 an 的前n项和 若把称为数列 an 的 优化和 现有一个共2009项的数列 a1 a2 a3 a2009 若其 优化和 为2010 则有2010项的数列 1 a1 a2 a3 a2009的优化和为 解析依题意 s1 s2 s2009 2009 2010 又数列1 a1 a2 a2009相当于在数列a1 a2 a2009前加一项1 其优化和为 2010 三 解答题10 数列 an 中 a1 3 an an 1 2n 1 0 n n 且n 2 1 求a2 a3的值 2 证明 数列 an n 是等比数列 并求 an 的通项公式 3 求数列 an 的前n项和sn 1 解 a1 3 an an 1 2n 1 0 n n 且n 2 a2 a1 4 1 6 a3 a2 6 1 1 2 证明 数列 an n 是首项为a1 1 4 公比为 1的等比数列 an n 4 1 n 1 即an 4 1 n 1 n an 的通项公式是an 4 1 n 1 n n n 3 解 an 4 1 n 1 n n n sn a1 a2 an 4 1 0 1 4 1 1 2 4 1 2 3 4 1 n 1 n 4 1 0 1 1 1 2 1 n 1 1 2 3 n 2 1 1 n 11 已知数列 an 的各项均为正数 sn为其前n项和 对于任意的n n 满足关系式2sn 3an 3 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 bn 的通项公式是bn 前n项和为tn 求证 对于任意的正数n 总有tn 1 2sn 3an 3 2sn 1 3an 1 3 n 2 故2 sn sn 1 2an 3an 3an 1 即an 3an 1 n 2 1 解由已知得 故数列 an 为等比数列 且公比q 3 又当n 1时 2a1 3a1 3 a1 3 an 3n 2 证明 bn tn b1 b2 bn 12 已知数列 an 的前n项和sn 对一切正整数n 点 n sn 都在函数f x 2x 2 4的图象上 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn anlog2an 求数列 bn 的前n项和tn 解