雅礼中学2010届高三十月质量检测.doc

雅礼中学2010届高三十月质量检测数 学（理工农医类）命题：高三数学备课组 审卷：高三数学备课组说明：本试题卷分选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分时量120分钟满分150分考试范围:集合、函数与导数、不等式、数列、三角函数、向量、复数第I卷一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡对应位置.设集合（A） （B） （C） （D） 复数等于( ) A.1i B.1+i C. 1i D.1+ i已知函数y=sinx+acosx的图象关于对称，则函数y=asinx+cosx的图象的一条对称轴是 （ ）A. x=11/6 B. x=2/3 C. x=/3 D. x=已知，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则用表示的表达式为 （ ） A. B . C. D. 提示：， ，.已知9，a1，a2，1四个实数成等差数列，9，b1，b2，b3，1五个实数成等比数列，则b2(a2a1) （ ）A8 B8 C D答案： B解析：.设函数，表示不超过的最大整数，则函数的值域为 A . B . C . D . 若，且，则下列各式中最大的是（ ）（A） （B）（C） （D）设奇函数f(x)在-1，1上是增函数，且，若函数对所有的都成立，则当时，t的取值范围是（ ）A BC D第II卷二填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9在边长为的正三角形中，设，则的值是 提示：，. 10在直角坐标系xoy中，若角的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y=x (x0).则的值为 . 11若关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为 12函数（）的最小值为 25 13给出下列四个结论： 函数在第一象限是增函数； 函数的最小正周期是若则；函数（x）有3个零点；对于任意实数x，有且x0时,则x0时其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）14已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么（i）_；（ii）函数，的值域为_.答案：3；2,1815 数列中， ，（i）若则= ；（ii）若则= 答案：三解答题：本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知 、，且,（）若（O为坐标原点），求角的值；（）若，求的值.解（）,而,代入化简得 又,.（）由，得, ,由于 ,且,则,又=所以=-. 17（本小题满分12分）函数，其中.（1）求的取值范围（2）若a、b是使至少有一个实根的实数，求的最小值.解：（1），（2）解法一：至少有实根时得对称轴时，综合得。（2）解法二：利用点到直线的距离（2）解法三：利用柯西不等式。18（本小题满分12分）已知是数列的前n项和，并且=1，对任意正整数n，；设）. （I）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （II）设的前n项和，求.解：（I）两式相减：是以2为公比的等比数列，4分7分（II）9分而12分19（本小题满分12分）从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问：（1）求长方体的容积V关于x的函数表达式；（2）x取何值时，长方体的容积V有最大值？（1）长方体的容积，由，得，（2）由均值不等式知，当，即时等号成立。（1）当，即，；（2）当，即时，则在上单调递减，在单调递增，总之，若，则当时， ；若，则当时，。（注：直接对V求导也可）20（本小题满分13分）已知函数（I）若 在其定义域是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设函数的最小值；（III）设函数的图象C1与函数的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对x（0,+）恒成立， （II）设当t=1时，ym I n=b+1；6分当t=2时，ym I n=4+2b8分当的最小值为9分 （III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为10分假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则 设 这与矛盾，假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.21（本小题满分14分）已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.【解】（）由题意知即13检验知、时，结论也成立，故.4法二：法三：（）由于故.9（）（）当时，由（）知：，即条件满足；又