2025-2026年四川省人教版高中数学选修第二册第4章综合测试卷

2025-2026年四川省人教版高中数学选修第二册第4章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第二册第4章《数列》中，已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=3n^2+2n，则数列{a_n}的通项公式为（）A.a_n=6n+2B.a_n=6n-1C.a_n=3n+1D.a_n=3n-2解析：由S_n=3n^2+2n可得a_1=S_1=5，当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=(3n^2+2n)-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1，故通项公式为a_n=6n-1（当n=1时也成立），正确答案为B。2.已知等差数列{a_n}的首项为-10，公差为6，若数列的第k项与第m项（k≠m）的乘积为-504，则k+m的值为（）A.16B.17C.18D.19解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d可得a_k=-10+6(k-1)，a_m=-10+6(m-1)，则a_k•a_m=[6(k-1)-10][6(m-1)-10]=-504，化简得6(k-1)•6(m-1)=64，即(k-1)(m-1)=16，因k≠m，故k-1与m-1为16的一对非零因数，解得k-1=1，m-1=16或k-1=2，m-1=8，即k+m=18或k+m=19，正确答案为D。3.在等比数列{b_n}中，若b_3=8，b_5=32，则数列的公比q为（）A.2或-2B.4或-4C.2D.-2解析：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}可得b_3=b_1q^2=8，b_5=b_1q^4=32，两式相除得q^2=4，故q=±2，正确答案为A。4.已知数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+c_{n-1}（n≥2），则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系可得c_2=2c_1+c_0=3（设c_0=0），c_3=2c_2+c_1=7，c_4=2c_3+c_2=17，c_5=2c_4+c_3=41，c_6=2c_5+c_4=85，正确答案为无选项，需修改题目。5.若数列{d_n}的前n项和S_n满足S_n=n^2+n+1，则数列{d_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摩尔数列D.以上均不是解析：当n=1时，d_1=S_1=3；当n≥2时，d_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n+1-[(n-1)^2+(n-1)+1]=2n，故d_n=2n（当n=1时也成立），即数列是首项为3，公差为2的等差数列，正确答案为A。6.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{e_n}的第5项e_5的值为（）A.16B.32C.48D.64解析：当n=1时，e_1=S_1=1；当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故e_5=2^4=16，正确答案为A。7.在等差数列{f_n}中，若f_1+f_3+f_5=27，f_2+f_4+f_6=33，则数列的公差d为（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质可得f_1+f_5=2f_3，f_2+f_6=2f_4，则原式可化为3f_3=27，3f_4=33，解得f_3=9，f_4=11，故公差d=f_4-f_3=2，正确答案为B。8.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则数列{g_n}的第4项g_4的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：当n=1时，g_1=S_1=2；当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=2n+1，故g_4=2×4+1=9，正确答案为无选项，需修改题目。9.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+2n，则数列的前6项和为（）A.56B.57C.58D.59解析：由递推关系可得h_2=h_1+2=3，h_3=h_2+4=7，h_4=h_3+6=13，h_5=h_4+8=21，h_6=h_5+10=31，前6项和为1+3+7+13+21+31=76，正确答案为无选项，需修改题目。10.已知数列{i_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{2i_n}的前3项和为（）A.26B.27C.28D.29解析：当n=1时，i_1=S_1=2；当n≥2时，i_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故i_1=2，i_2=6，i_3=18，数列{2i_n}的前3项和为2×2+2×6+2×18=52，正确答案为无选项，需修改题目。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}的首项为5，公差为3，则数列的前10项和S_{10}等于________。解：S_{10}=\frac{10}{2}(2×5+9×3)=330，答案为330。2.已知等比数列{b_n}的公比为q，若b_2=4，b_4=16，则q的值为________。解：由b_4=b_2q^2可得q^2=4，故q=±2，答案为±2。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则数列的前5项分别为________。解：c_2=c_1+2=4，c_3=c_2+4=8，c_4=c_3+6=14，c_5=c_4+8=22，答案为2,4,8,14,22。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则数列的通项公式a_n=________。解：当n=1时，a_1=S_1=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，故a_n=2n（当n=1时也成立），答案为2n。5.若等差数列{e_n}的前n项和为S_n=6n^2+2n，则数列的公差d=________。解：由S_n=6n^2+2n可得a_n=S_n-S_{n-1}=12n+2，故公差d=a_n-a_{n-1}=12，答案为12。6.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列的第3项f_3的值为________。解：当n=1时，f_1=S_1=1；当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故f_3=2^2=4，答案为4。7.若等比数列{g_n}的首项为3，公比为q，若数列的前3项和为12，则q的值为________。解：S_3=3(1+q+q^2)=12，化简得q^2+q-3=0，解得q=1或q=-3，答案为1或-3。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n，则数列的前4项和为________。解：h_2=2×1+1=3，h_3=2×3+2=8，h_4=2×8+3=19，前4项和为1+3+8+19=31，答案为31。9.若数列{i_n}的前n项和为S_n=5^n-1，则数列的第2项i_2的值为________。解：当n=1时，i_1=S_1=4；当n≥2时，i_n=S_n-S_{n-1}=5^n-1-(5^{n-1}-1)=4×5^{n-1}，故i_2=4×5=20，答案为20。10.已知数列{j_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则数列的第5项j_5的值为________。解：当n=1时，j_1=S_1=2；当n≥2时，j_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n=2n，故j_5=2×5=10，答案为10。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2+3n，则数列{a_n}是等差数列。（×）解：当n=1时，a_1=S_1=5；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n+2，故a_n=4n+2（当n=1时也成立），即数列是首项为6，公差为4的等差数列，正确答案为√。2.若数列{b_n}满足b_{n+1}=b_n+q（q为常数），则数列{b_n}是等比数列。（×）解：当q=0时，数列为常数列，不是等比数列，正确答案为√。3.若数列{c_n}的前n项和为S_n=n^3，则数列{c_n}是等差数列。（×）解：当n=1时，c_1=S_1=1；当n≥2时，c_n=S_n-S_{n-1}=3n^2，故c_n=3n^2（当n=1时也成立），即数列不是等差数列，正确答案为√。4.若数列{d_n}是等差数列，则数列的前n项和S_n也是等差数列。（√）解：由等差数列性质可得S_n=n(a_1+\frac{n-1}{2}d)=\frac{d}{2}n^2+(\frac{a_1-d}{2})n，是关于n的二次函数（当d=0时为一次函数），故其导数是常数，正确答案为√。5.若数列{e_n}是等比数列，则数列的前n项和S_n也是等比数列。（×）解：当公比q=1时，数列为常数列，其前n项和S_n=na_1不是等比数列，正确答案为√。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则数列{f_n}是等比数列。（√）解：当n=1时，f_1=S_1=1；当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故f_n=2^{n-1}（当n=1时也成立），即数列是首项为1，公比为2的等比数列，正确答案为√。7.若数列{g_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则数列{g_n}是等差数列。（√）解：当n=1时，g_1=S_1=2；当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=2n，故g_n=2n（当n=1时也成立），即数列是首项为2，公差为2的等差数列，正确答案为√。8.若数列{h_n}是等比数列，则数列的前n项和S_n也是等比数列。（×）解：当公比q=1时，数列为常数列，其前n项和S_n=na_1不是等比数列，正确答案为√。9.若数列{i_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{i_n}是等比数列。（√）解：当n=1时，i_1=S_1=2；当n≥2时，i_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，故i_n=2×3^{n-1}（当n=1时也成立），即数列是首项为2，公比为3的等比数列，正确答案为√。10.若数列{j_n}的前n项和为S_n=n(n+1)，则数列{j_n}是等差数列。（√）解：当n=1时，j_1=S_1=2；当n≥2时，j_n=S_n-S_{n-1}=2n，故j_n=2n（当n=1时也成立），即数列是首项为2，公差为2的等差数列，正确答案为√。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}的首项为-3，公差为5，求该数列的前10项和S_{10}。解：S_{10}=\frac{10}{2}(2×(-3)+9×5)=330。2.已知等比数列{b_n}的公比为q，若b_2=4，b_4=16，求q的值。解：由b_4=b_2q^2可得q^2=4，故q=±2。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，求该数列的前5项。解：c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，c_5=c_4+8=21。4.已知数列{d_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时，a_1=S_1=2；当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故a_n=2n。5.若等差数列{e_n}的前n项和为S_n=6n^2+2n，求该数列的公差d。解：由S_n=6n^2+2n可得a_n=S_n-S_{n-1}=12n+2，故公差d=a_n-a_{n-1}=12。6.已知数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，求该数列的第3项f_3。解：当n=1时，f_1=S_1=1；当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故f_3=2^2=4。7.若等比数列{g_n}的首项为3，公比为q，若数列的前3项和为12，求q的值。解：S_3=3(1+q+q^2)=12，化简得q^2+q-3=0，解得q=1或q=-3。8.已知数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=2h_n+n，求该数列的前4项和。解：h_2=2×1+1=3，h_3=2×3+2=8，h_4=2×8+3=19，前4项和为1+3+8+19=31。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产能力的20%，若第一年生产能力为100万吨，求该工厂第5年的生产能力。解：由等比数列通项公式可得a_n=100×1.2^{n-1}，故a_5=100×1.2^4≈207.36万吨。2.某城市人口每年增长率为1.5%，若当前人口为100万，求5年后该城市的人口数量。解：由等比数列通项公式可得a_n=100×1.015^{n-1}，故a_5=100×1.015^4≈106.046万。3.某企业投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资10万元，求该企业5年内总投资额。解：由等差数列前n项和公式可得S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)，故S_5=\frac{5}{2}(2×100+4×10)=550万元。4.某种细菌每小时繁殖1倍，若初始数量为1个，求12小时后细菌的数量。解：由等比数列通项公式可得a_n=1×2^{n-1}，故a_{12}=1×2^{11}=2048个。5.某学生计划每天比前一天多学习1小时，若第一天学习2小时，求该学生7天内学习的总时间。解：由等差数列前n项和公式可得S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)，故S_7=\frac{7}{2}(2×2+6×1)=28小时。6.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比上一年增产10%，求该工厂5年内总产量。解：由等比数列前n项和公式可得S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}，故S_5=\frac{1000(1-1.1^5)}{1-1.1}≈6104.98件。7.某学生计划每天比前一天多跑1公里，若第一天跑3公里，求该学生7天内跑的总路程。解：由等差数列前n项和公式可得S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)，故S_7=\frac{7}{2}(2×3+6×1)=49公里。8.某企业投资一个项目，第一年投资100万元，以后每年比上一年多投资10万元，求该企业5年内总投资额。解：由等差数列前n项和公式可得S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)，故S_5=\frac{5}{2}(2×100+4×10)=550万元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.D3.A4.无选项（需修改题目）5.A6.A7.B8.无选项（需修改题目）9.无选项（需修改题目）10.无选项（需修改题目）二、填空题1.3302.±23.2,4,8,14,224.2n5.126.47.1或-38.319.2010.10三、判断题1.×2.×3.×4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.S_{10}=\frac{10}{2}(2×(-3)+9×5)=3302.q=±23.c_1=1，c_2=3，c_3=7，c_4=13，c_5=214.a_n=2n5.d=126.f_3=47.q=1或q=-38.前4项和为31五、应用题1.a_5=100×1.2^4≈207.36万吨2.a_5=100×1.015^4≈106.046万3.S_5=\frac{5}{2}(2×100+4×10)=550万元4.a_{12}=1×2^{11}=2048个5.S_7=\frac{7}{2}(2×2+6×1)=28小时6.S_5=\frac{1000(1-1.1^5)}{1-1.1}≈6104.98件7.S_7=\frac{7}{2}(2×3+6×1)=49公里8.S_5=\frac{5}{2}(2×100+4×10)=550万元【解析】一、单项选择题1.由S_n=3n^2+2n可得a_n=S_n-S_{n-1}=6n+2，故a_n=6n+2（当n=1时也成立），正确答案为B。2.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d可得a_k=-10+6(k-1)，a_m=-10+6(m-1)，则a_k•a_m=[6(k-1)-10][6(m-1)-10]=-504，化简得6(k-1)•6(m-1)=64，即(k-1)(m-1)=16，因k≠m，故k-1与m-1为16的一对非零因数，解得k-1=1，m-1=16或k-1=2，m-1=8，即k+m=18或k+m=19，正确答案为D。3.由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}可得b_3=b_1q^2=8，b_5=b_1q^4=32，两式相除得q^2=4，故q=±2，正确答案为A。4.由递推关系可得c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，c_5=c_4+8=21，c_6=c_5+10=31，正确答案为无选项，需修改题目。5.由S_n=n^2+n可得a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故a_n=2n（当n=1时也成立），即数列是首项为2，公差为2的等差数列，正确答案为A。6.由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故a_5=2^4=16，正确答案为A。7.由等差数列性质可得f_1+f_3+f_5=3f_3=27，f_2+f_4+f_6=3f_4=33，解得f_3=9，f_4=11，故公差d=f_4-f_3=2，正确答案为B。8.由S_n=n(n+1)可得a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故a_n=2n（当n=1时也成立），正确答案为B。9.由递推关系可得h_2=h_1+2=3，h_3=h_2+4=7，h_4=h_3+6=13，h_5=h_4+8=21，前5项和为1+3+7+13+21=45，正确答案为无选项，需修改题目。10.由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故数列{2i_n}的前3项和为2×2+2×6+2×18=52，正确答案为无选项，需修改题目。二、填空题1.S_{10}=\frac{10}{2}(2×5+9×3)=3302.由b_4=b_2q^2可得q^2=4，故q=±23.由递推关系可得h_2=c_1+2=3，h_3=h_2+4=7，h_4=h_3+6=13，h_5=h_4+8=214.由S_n=n^2+n可得a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故a_n=2n5.由S_n=6n^2+2n可得a_n=S_n-S_{n-1}=12n+2，故公差d=a_n-a_{n-1}=126.由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故f_3=2^2=47.S_3=3(1+q+q^2)=12，化简得q^2+q-3=0，解得q=1或q=-38.由递推关系可得h_2=h_1+2=3，h_3=h_2+4=7，h_4=h_3+6=13，前4项和为1+3+7+13=24三、判断题1.×：由S_n=2n^2+3n可得a_n=S_n-S_{n-1}=4n+2，故a_n=4n+2（当n=1时也成立），即数列是首项为6，公差为4的等差数列，正确答案为√。2.×：当q=0时，数列为常数列，不是等比数列，正确答案为√。3.×：由S_n=n^3可得a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2，故a_n=3n^2（当n=1时也成立），即数列不是等差数列，正确答案为√。4.√：由等差数列性质可得S_n=n(a_1+\frac{n-1}{2}d)=\frac{d}{2}n^2+(\frac{a_1-d}{2})n，是关于n的二次函数（当d=0时为一次函数），故其导数是常数，正确答案为√。5.×：当公比q=1时，数列为常数列，其前n项和S_n=na_1不是等比数列，正确答案为√。6.√：由S_n=2^n-1可得a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故a_n=2^{n-1}（当n=1时也成立），即数列是首项为1，公比为2的等比数列，正确答案为√。7.√：由S_n=n^2+n可得a_n=S_n-S_{n-1}=2n，故a_n=2n（当n=1时也成立），即数列是首项为2，公差为2的等差数列，正确答案为√。8.×：当公比q=1时，数列为常数列，其前n项和S_n=na_1不是等比数列，正确答案为√。9.√：由S_n=3^n-1可得a_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}，故a_n=2×3^{n-1}（当n=1时也成立），即数列是首项为2，公比为3的等比数列，正确答案为√。10.√：由S_n=n(n+1)可得a_n=S_n-S_