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文档简介
第三节 一 格林公式 三 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 格林公式及其应用 二 格林公式简单应用 四 小结 回顾 一元微积分学中最基本的公式 牛顿 莱布尼兹公式 问题 能否推广到二重积分 格林 2 1 格林公式 连通区域 连通区域 单 复 定理1 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 区域D总在他的左边 闭曲线 定理1 注意三点 1 封闭的边界曲线 2 正方向 3 有连续的一阶偏导数 二 格林公式简单应用 其中L为上半 从O 0 0 到A 4 0 解 为了使用格林公式 添加辅助线段 它与L所围 圆周 区域为D 则 例3 计算 原式 注意 利用格林公式可以计算平面面积 解 格林公式的条件不满足 故 1 设 且都取正向 问下列计算是否正确 提示 思考 三 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定义 如果在区域G内有 定理2 设D是单连通域 在D内 具有一阶连续偏导数 1 沿D中任意光滑闭曲线L 有 2 对D中任一分段光滑曲线L 曲线积分 3 4 在D内每一点都有 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分 即 说明 积分与路径无关时 曲线积分可记为 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲 线 则 根据条件 1 证明 1 2 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B x y 与路径无关 有函数 证明 2 3 设存在函数u x y 使得 则 P Q在D内具有连续的偏导数 从而在D内每一点都有 证明 3 4 设L为D中任一分段光滑闭曲线 如图 利用格林公式 得 所围区域为 证明 4 1 根据定理2 若在某区域内 则 2 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 3 可用积分法求du Pdx Qdy在域D内的原函数 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线 可添加辅助线 取定点 1 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 说明 例6 解 是某个函数的全微分 并求 出这个函数 解 则 由定理2可知 存在函数u x y 使 利用曲线积分与路径无关 设 注 所取起点不同 所求函数的最后结果中的常数可能不同 例7 验证 解 不定积分法 求原函数的方法 由于 故 由 1 式得 求导得 结合 2 式得 解 凑全微分法 在右半平面 x 0 内存在原函 数 并求出它 证 令 则 由定理2可知存在原函数 例8 验证 或 作用下沿曲线L 由 移动到 求力场所作的功W 解 令 则有 可见 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 例9 设质点在力场 思考 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么 解 例10 如图 与路径无关 四 小结 1 格林公式 2
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