高中数学 1.3.2 函数的极值与导数（3）课件 新人教A版选修22.ppt

1 3 2函数的极值与导数 2 一 复习引入 1 常见函数的导数公式 3 复合函数的导数 4 复合函数求导的基本步骤是 分解 求导 相乘 回代 5 函数的导数与函数的单调性的关系 6 用导数求函数单调区间的步骤 求函数f x 的定义域和导数f x 令f x 0解不等式 得x的范围就是递增区间 令f x 0解不等式 得x的范围 就是递减区间 7 极大值 一般地 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 x0是极大值点 8 极小值 一般地 设函数f x 在x0附近有定义 如果对x0附近的所有的点 都有f x f x0 就说f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 x0是极小值点 9 极大值与极小值统称为极值 10 判别f x0 是极大 极小值的方法 13 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 二 讲解范例 例1 1 对可导函数 在一点两侧的导数异号是这点为极值点的 a 充分条件b 必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 答案 c 充要条件 2 导数为0的点都是极值点吗 提示 不一定 y f x 在x x0及附近有定义 且f x0 0 y f x 是否在x x0处取得极值 还要看f x 在x0两侧的符号是否异号 例如f x x3 由f x 3x2知f 0 0 但x 0不是f x x3的极值点 已知函数解析式 可利用导数及极值的定义求出其极大值与极小值 反过来 如果已知某函数的极值点或极值 也可利用导数及极值的必要条件建立参数方程或方程组 从而解出参数 求出函数解析式 思维总结 已知函数极值情况 逆向应用确定函数的解析式 进而研究函数性质时 注意两点 1 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 变式训练2 2011年高考重庆卷 设f x x3 ax2 bx 1的导数f x 满足f 1 2a f 2 b 其中常数a b r 1 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 设g x f x e x 求函数g x 的极值 解 1 因为f x x3 ax2 bx 1 故f x 3x2 2ax b 令x 1 得f 1 3 2a b 由已知f 1 2a 因此3 2a b 2a 解得b 3 又令x 2 得f 2 12 4a b 由已知f 2 b 2 由 1 知g x 3x2 3x 3 e x 从而有g x 3x2 9x e x 令g x 0 得 3x2 9x 0 解得x1 0 x2 3 当x 0 时 g x 0 故g x 在 0 3 上为增函数 当x 3 时 g x 0 故g x 在 3 上为减函数 从而函数g x 在x1 0处取得极小值g 0 3 在x2 3处取得极大值g 3 15e 3 极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用 以及与单调性问题的综合 题目着重考查已知与未知的转化 以及函数与方程的思想 分类讨论的思想在解题中的应用 在解题过程中 熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键 设函数f x x3 6x 5 x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 若关于x的方程f x a有三个不同的实根 求实数a的取值范围 思路点拨 1 利用导数求单调区间和极值 2 由 1 的结论 问题转化为y f x 和y a的图象有3个不同的交点 利用数形结合的方法求解 思维总结 用求导的方法确定方程根的个数 是一种很有效的方法 它通过函数的变化情况 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数 从而判断方程根的个数 变式训练3已知a为实数 函数f x x3 3x a 1 求函数f x 的极值 并画出其图象 草图 2 当a为何值时 方程f x 0恰好有两个实数根 解 1 由f x x3 3x a 得f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以函数f x 的极小值为f 1 a 2 极大值为f 1 a 2 由单调性 极值可画出函数f x 的大致图象 如图所示 2 结合图象 当极大值a 2 0时 有极小值小于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰有两个实数根 所以a 2满足条件 当极小值a 2 0时 有极大值大于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰好有两个实数根 所以a 2满足条件 综上 当a 2时 方程恰有两个实数根 1 判别f x0 是极大 极小值的方法 2 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义区间 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在