数学的解题思想.doc

0附录二： 数学的解题思想 初中数学教师学科素养之二 南昌市教研室 万智儒解答数学题，是数学教学的一个有机组成部分，具有多方面的意义。首先，解答数学题，使学生掌握数学基础知识和基本技能的必经途径；其次，解答数学题，是发展学生数学思维能力的有效方法。数学思想则是数学意识，属于思维的范畴。思维与解题过程是密切联系的。这种联系，表现在心理活动中，思维被看作是解题活动，尽管思维并非总等同于解题过程，但是有理由断言，思维形成的最有效的办法是通过解题来实现的，解答数学题采用的数学方法，是针对各种不同的数学知识而定的一种策略，是一种工具。对于思想和方法不能截然而分，思想中含有方法，方法突现思想。故而没有必要纠结着去试图分清“思想”和“方法”。我们不妨把“函数方程思想”看作“函数方程方法”，把“数形结合思想”看作“数形结合方法”等等。再次，解答数学题，有助于培养学生良好的思想品质；最后，通过解题还可以检查教学情况，评价教学质量，评价数学思维的发展水平和数学思维素养的形成状况，显而易见，解答数学题，对于“应试”的重要性不言而逾。一、 函数方程思想方程思想（又称为等量思想），就是从分析问题的数量关系入手，把其中等量关系转化为方程。通过解方程或对方程的研究解决问题。函数关系是变量于变量之间一种特殊的对应、影射与变换。建立函数关系，构造出函数的模型，然后转化为方程的问题，实现函数和方程的互相转化，这就是函数方程思想。例1.ABC中，A，B，C的对边分别为a,b,c且abc 问能否作一条直线L，直线L与较长 两边AB，AC 都相交，且同时平分ABC的周长和面积？如果存在，共有几条？如果不存在，请说明理由。二、数形结合思想数形结合，作为一种常用的解题策略，一般从下面两个方面考虑：一是用代数、三角知识处理几何图形问题；二是用几何图形或函数图像知识处理数量关系的问题。例2.如图，在一个边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为12，1414，1818，116116，,1126 的矩形彩色纸片，请依照数形变化的规律，计算12+1414+1818+116116+1126的值。例3如果不等式9x-a8x-b的整数解仅为1,2,3.画出数轴，那么适合这个不等式组的整数a,b的有序数对（a,b）共有几个？例4.设R为平面上以A（3,1），B(-1,-6),C(-3,2)三点为顶点的三角形区域（包括三角形内部及周界）。当点（X,Y）在R上变动时，求函数S=4x-3y的最大值和最小值。例5.在RTABC 中CD是斜边上的高，求证：AC+BC cosA+cosB+cosC.4.等价替换条件或结论例12.已知x+y+Z=1x+1y+1z=1 ,求证;x,y,z中至少有一个是1.二、 数学联想联想是由此及彼的思考问题的一种方法。恰当地进行联想，常常能启发我们的思维，沟通数学题的条件与问题或条件与结论之间的逻辑联系，起到开路搭桥的作用。进行联想有多种途径，根据数学题的不同特色，有的可联想有关的定义和规律；有的可联想常用的解题方法；有的可联想已经解过的数学题；有的还可以联想相邻学科的有关知识。对于结构复杂的问题，可以几方面结合起来联想。1. 联想定义和规律例13.过抛物线y=2x2 对称轴上的点F(0,1)，作一直线交抛物线于A,B两点，若直线AB与x轴的交角为45 ，求A,B两点间的距离。2. 联想常用的解题方法例14.已知正数a,b,c,x,y,z满足a+x= b+y=c+z =k,求证：ay+bz+cxk2.3. 联想已知的数学题例15.已知三角形三边长a,b,c满足关系式：1a+1b+1c=1a-b+c ,如果按边分类，试判断这个三角形的形状。4. 联想相邻学科的有关知识例16.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图，三块平面镜分别用L1,，L2, L3,表示，其他字母表示相应角的度数，若c=60 ,则d+e的度数为-