高中数学第三章.1函数的单调性与导数学案含解析.docx

33.1函数的单调性与导数提出问题已知函数y1x，y2x2，y3的图象如图所示问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性提示：函数y1x在R上为增函数，y2x2在(，0)上为减函数，在(0，)上为增函数，y3在(，0)，(0，)上为减函数问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负提示：y11，在R上为正；y22x，在(，0)上为负，在(0，)上为正；y3，在 (，0)及(0，)上均为负问题3：结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？提示：当f(x)0时，f(x)为增函数；当f(x)0单调递增f(x)0(f(x)0.函数与导函数的图象例1已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中为yf(x)的大致图象的是()解选C由题图知：当x1时，xf(x)0，f(x)0，函数yf(x)单调递增；当1x0时，xf(x)0，f(x)0，函数yf(x)单调递减；当0x1时，xf(x)0，f(x)0，函数yf(x)单调递减；当x1时，xf(x)0，f(x)0，yf(x)单调递增类题通法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致活学活用函数f(x)的图象如图所示，则导函数yf(x)的图象可能是()解析：选D从原函数yf(x)的图象可以看出，其在区间(，0)上是减函数，f(x)0；在区间(0，x1)上是增函数，f(x)0；在区间(x1，x2)上是减函数，f(x)0；在区间(x2，)上是增函数，f(x)0.结合选项可知，只有D项满足判断(或证明)函数的单调性例2证明函数f(x)在上单调递减证明：f(x)，f(x).由于x，所以cos x 0, sin x0.因此xcos xsin x0，故f(x)0，所以f(x)在上单调递减类题通法利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f(x)0(f(x)0)在给定区间上恒成立，一般步骤为：求导数f(x)；判断f(x)的符号；给出单调性结论注意如果出现个别点使f(x)0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性活学活用试证明：函数f(x)在区间(0,2)上是增函数证明：由于f(x)，所以f(x)，由于0x2，所以ln xln 21，故f(x)0，所以函数f(x)在区间(0,2)上是增函数求函数的单调区间例3求下列函数的单调区间：(1)f(x)xsin x，x(0,2)；(2)f(x)2xln x.解(1)f(x)cos x，令f(x)0，得cos x0，即cos x.又x(0,2)，0x或x2.同理，令f(x)0，得x0，解得x；令20，解得0x0，得x1；令y0，得x0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x) 在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减答案：(，1)和(0，)(1,0)7设函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3x2a，f(x)在(1，)内是增函数，3x2a0对x(1，)恒成立，即a3x2对x(1，)恒成立又3x20；若在(a，b)内f(x)存在，则f(x)必为单调函数；若在(a，b)内对任意x都有f(x)0，则f(x)在(a，b)内是增函数；若可导函数在(a，b)内有f(x)0，则在(a，b)内有f(x)0.解析：对于，可以存在x0，使f(x0)0不影响区间内函数的单调性；对于，导数f(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于，f(x)0只能得到f(x)单调递减答案：三、解答题9求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x).解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.因为x0，所以x10，由f(x)0，解得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0，解得x，又x(0，)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x).因为x(，2)(2，)，所以ex0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0，解得x3，又x(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)10已知函数f(x)(ax2bxc)ex在0,1上单调递减且满足f(0)1，f(1)0，求a的取值范围解：由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，则f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex.依题意需对于任意x0,1，有f(x)0.当a0时，因为二次函数