《集合与映1射》PPT课件.ppt

一元微积分学 大学数学 1 第一讲集合与映射 授课教师 易学军 第一章集合与函数 本章学习要求 正确理解函数概念 能熟练求出函数的定义域 掌握函数的单调性 有界性 奇偶性 周期性的分析表示和图形特征 正确理解初等函数 复合函数概念 能正确将复合函数进行分解 会求函数 包括分段函数 的反函数 了解 取整函数 和 符号函数 能对常见的实际问题进行分析 建立函数关系 第一节集合与映射 一 集合的基本概念二 集合的基本运算三 映射的基本概念四 实数 区间 邻域 康托尔将集合定义为 所谓集合是把我们直观和思维中确定的 相互间有明确区别的那些对象 这些对象称为元素 作为一个整体来考虑的结果 1 集合 一 集合的基本概念 2 集合的表示法 列举法 将集合A的所有元素一一列举出来 并用花括号括上 表示集合的方法有两种 注意 不论用那一种方法表示集合 集合中的元素不得重复出现 唯一 互异 无序 3 子集 集合相等 规定 空集是不含任何元素的集合 记为 空集是任何一个集合的子集 4 有限集 无限集 含有有限个元素的集合称为有限集 含有无限个元素的集合成为无限集 二 集合的基本运算 在wen图中 用矩形表示全集 1 集合运算的概念 一般说来 A B 交换律 结合律 分配律 对偶律 2 集合的运算性质 幂等律 吸收律 1 实数集与数轴 实数集为有理数集与无理数集的并 实数具有稠密性和连续性 a R 必 n Z 使n a n 1 实数与数轴上的点一一对应 三 实数 区间 邻域 2 绝对值 距离 任一实数a的绝对值 a 定义为 数轴上任意两点a b之间的距离为 d a b 3 区间 1 闭区间 a b x a x b a b 2 开区间 a b x a x b a b a b x a x b 称为左开右闭区间 a b x a x b 称为右开左闭区间 3 半开闭区间 a b 4 无穷区间 a x x a a x x a b x x b b x x b x x x x R a a 5 区间长度 不论是闭区间 开区间 半开闭区间 其长度计算均按此式进行 x0 x0 x0 4 邻域 x0 x0 x0 点x0 3的 0 1邻域为 点x0 3的去心 0 1邻域为 四 映射的基本概念 1 映射 注意 1 映射是集合间的一种对应关系 集合X Y 中所含的元素不一定是数 可以是其它的一 些对象 或事物 2 对每一个x X 只有唯一的一个y Y值与之 对应关系不一定就是映射 对应 这一点很重要 它说明集合间元素的 3 映射的定义不排除几个不同的x值与同一个y值对应 Rf X Y f y2 x1 x2 x3 y1 设f为集X到集Y的一个映射 如果 x X 存在唯一的y f x Y与之对应 反过来 若 y Y 存在唯一的x X使得y f x 则称f是X到Y的一一对应 2 一一对应 第二 三节函数 一 函数的基本概念二 函数的基本性质三 基本初等函数四 初等函数 一 函数的基本概念 1 函数的定义 2 函数的表示法 解析法 表格法 图示法 自己看书 3 求函数定义域举例 数学分析的主要研究对象是函数 确定函数的定义域是一件十分重要的事情 通常依据 分式的分母不能为零 负数不能开偶次方 已知的一些函数的定义域 物理意义 几何意义等来确定函数的定义域 将x表示为 函数 称为取整函数 它是一个分段函数 想想取整函数的图形是什么样子 定义域与对应规则均相同的两个函数相同 如何判断两个函数是否相同 4 判断函数相同 5 函数的图形 称为函数f x 的图形 在平面上建立直角坐标系Oxy 则xy平面上的点集 是否所有的函数均可绘出几何图形 单调性 有界性 奇偶性 周期性 二 函数的基本性质 1 单调性 在不需要区别上面两种情况时 一般将统称为函数在区间I上单调增加 记为 在不需要区别上面两种情况时 一般将统称为函数在区间I上单调减少 记为 画画图就一目了然 我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性 2 有界性 有界性 设函数y f x 在区间I上有定义 若存在实数A B 使对一切x I恒有 A f x B 则称函数y f x 在区间I上有界 否则 称函数y f x 在区间I上无界 函数有界性的定义 y f x x x y y A A B B O O y f x 函数y f x 在区间I上有界 你能理解吗 成立 则称函数y f x 在区间I上是上方有界的 简称有上界 设函数y f x 在区间 I上有定义 若存在实数M 可正 可负 对一切x I恒有 y f x f x M f x m 在区间I上是下方有界的 简称有下界 设函数y f x 在区间 I上有定义 若存在实数m 可正 可负 对一切x I恒有 成立 则称函数y f x y f x 函数y f x 有界 f x 既有上界又有下界 在区间I上 无穷多个下界 所有下界中最大者称为函数在区 间I上的下确界 记为 无穷多个上界 所有上界中最小者称为函数在区 间I上的上确界 记为 有上 下 界的函数是否必有上 下 确界 如何证明或判断函数无界 提一个问题 证明或判断无界 通常依据 易知 在任何一个有限区间内有界 3 奇偶性 若 x Df 有 f x f x 成立 则称f x 为偶函数 偶函数的图形关于y轴对称 若 x Df 有 f x f x 成立 则称f x 为奇函数 奇函数的图形关于坐标原点对称 设函数y f x 的定义域Df关于坐标原点对称 三 基本初等函数 大家在中学就已熟悉它们了 以下六种简单函数称为基本初等函数 1 常值函数y C C为常数 2 幂函数y x R为常数 3 指数函数y ax a 0 a 1 4 对数函数y logax a 0 a 1 5 三角函数y sinxy cosxy tanxy cotxy secxy cscx 6 反三角函数y arcsinxy arccosxy arctanxy arccotxy arcsecxy arccscx 详情见书 四 复合函数 反函数 如何 描述 1 复合函数 的每一个x所对应的u值 都属于f u 的定义域Df 其中 u称为中间变量 由函数 可构成复合函数 函数复合而成 它是由以下几个函数复合而成 以上过程称为对复合函数的分解 是一一对应 即映射f是一一对应 称f的 f的反函数 2 反函数的定义 反函数的图形 将函数y f x 的反函数写成x f 1 y 时 函数与其反函数的图形相同 将函数y f x 的反函数记为y f 1 x 时 函数y f x 与其反函数y f 1 x 的图形关于第 象限的角平分线y x对称 反函数的图形 综上所述 所求反函数为 故所求反函数为 增加的 减少 减少 五 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算 和复合运算而成的函数 称为初等函数 例如 都是初等函数 一般说来 分段函数不是初等函数 但有个别分