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文档简介
题型剖析 一 可分离变量的微分方程 二 一阶线性微分方程 三 几类可降阶的高阶微分方程 四 二阶 常系数 线性微分方程 五 微分方程的简单应用 六 简单的差分方程 例1 例2 典型例题 一 可分离变量的微分方程 首先看方程是否符合可分离变量的微分方程的形式 倘若不行则看其是否可以转化为分离变量的微分方程或奇次方程 知识点 例 求解微分方程 证分离变量得 两边积分得 求积分得 从而通解为 显然也包含在其中 可分离变量的微分方程 分离变量 知识点 例2求方程的通解 证 原方程得 分离变量得 从而有 因此 所以原方程的通解是 代入原方程得关于和的微分方程 可化为可分离变量的方程 齐次方程 二 一阶线性微分方程 先判断是否是一阶线性微分方程 再判断是齐次方程 还是非齐次方程 或是贝努力 Bernoulli 方程 然后求解 例1 例2 典型例题 例 求解一阶线性微分方程 知识点 解 知识点 由一阶线性非齐次方程通解公式有 一阶线性微分方程 例2求微分方程的通解 解 知识点 令 从而有 通解是 从而有 一阶线性微分方程 贝努力 Bernoulli 方程 一阶线性微分方程 贝努力 例1 例2 典型例题 三 几类可降阶的高阶微分方程 例 求方程的通解 解 知识点 令原方程可变为 由 两边积分得 型 型 例 解二阶微分方程 解 知识点 方程不显含 令 再积分得 为满足初始条件的特解 型 型 例1 例2 典型例题 四 二阶 常系数 线性微分方程 例 已知 解 知识点 设所求微分方程为 是某二阶线性微分方程的三个解 求此微分方程 的解 将其代入原方程有 又知 是其一个解 故 因此所求方程为 二阶常系数线性微分方程 二阶常微分方程 例 解二阶微分方程 解 知识点 相应的齐次方程为 特征方程为 特征根为 所以齐次方程通解是 代入原方程 所以原方程通解为 二阶常系数线性微分方程 二阶常微分方程 例1 典型例题 五 微分方程的简单应用 例1 解 从图中可以看出 阴影部分的面积等于曲边梯形的面积减去 直角梯形的面积 两边求导 得 解这个一阶线性方程 得 所以曲线方程为 知识点 一阶线性微分方程 由题意画出 图8 1 一阶线性微分方程 例1 典型例题 六 简单的差分方程
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