2018版高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案新人教A版.docx

2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点)2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)基础初探教材整理1向量的数乘运算阅读教材P87P88例5以上内容，完成下列问题.1.定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a.2.规定：(1)|a|a|.(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a与a同向，模是|a|的倍；0，即x.【答案】x(2)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且ABAC23，所以AB2BC，AC3BC.如图b，向量与方向相同，所以2；如图c，向量与方向相反，所以3.对向量数乘运算的三点说明：(1)a中的实数叫做向量a的系数.(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.(3)当0或a0时，a.注意是0，而不是0.再练一题1.已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由.(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍；(2)3a的方向与6a的方向相反，且3a的模是6a的模的；(3)4a与4a是一对相反向量；(4)ab与(ba)是一对相反向量；(5)若a，b不共线，则0a与b不共线. 【导学号：00680042】【解】(1)真命题.0，a与a同向.|a|a|，a的模是a的模的倍.(2)真命题.30，6a与a方向相同且|6a|6|a|，3a与6a方向相反且模是6a的模的.(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.(4)假命题.ab与ba是相反向量，ab与(ba)是相等向量.(5)假命题.0a0，0a与b共线.向量的线性运算(1)化简：(2a3bc)(3a2bc)_.(2)已知向量a，b，x，且(xa)(bx)x(ab)，则x_.【精彩点拨】(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简；(2)可类比解方程方法求解.【自主解答】(1)(2a3bc)(3a2bc)2a3a3b2bcca5b2c.(2)因为(xa)(bx)2x(ab)，所以2xabxab，即x0.【答案】(1)a5b2c(2)0向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.再练一题2.化简的结果是()A.2ab B.2baC.ba D.ab【解】原式(a4b4a2b)(6b3a)2ba.【答案】B探究共研型向量共线问题探究1已知m，n是不共线向量，a3m4n，b6m8n，判断a与b是否共线？【提示】要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数，使得ab即可.若a与b共线，则存在R，使ab，即3m4n(6m8n).m，n不共线，不存在同时满足此方程组，a与b不共线.探究2已知e1，e2是共线向量，a3e14e2，b6e18e2，则a与b是否共线？【提示】e1，e2共线，存在R，使e1e2.a3e14e23e24e2(34)e2，b6e18e26e28e2(68)e2，ab，a与b共线.当时，b0，a与b共线.探究3设两非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1e2和e1ke2共线？【提示】设ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.e1与e2不共线，只能有则k1.已知非零向量e1，e2不共线.如果Ae1e2，B2e18e2，C3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线.【精彩点拨】欲证A，B，D共线，只需证存在实数，使BA即可.【自主解答】Ae1e2，BBC2e18e23e13e25(e1e2)5A.A，B共线，且有公共点B，A，B，D三点共线.1.本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.再练一题3.设两个非零向量e1，e2不共线，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【导学号：70512028】【解】设存在kR，使得A，B，D三点共线，(e13e2)(2e1e2)e14e2，2e1ke2.又A，B，D三点共线，2e1ke2(e14e2)，k8，所以存在k8，使得A，B，D三点共线.1.下列各式中不表示向量的是()A.0a B.a3bC.|3a| D.e(x，yR，且xy)【解析】向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量.【答案】C2.下列计算正确的个数是()(3)2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】因为(3)2a6a，故正确；中，左2a2b2ba3a成立，故正确；中，左a2b2ba00，故错误.【答案】C3.等于()A.ab2c B.5ab2cC.ab2c D.5ab【解析】(3a2a)(cc)ab2c.故选A.【答案】A4.O为平行四边形ABCD的中心，4e1，6e2，则3e22e1_.【解析】设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB