高考数学 专题08 数列考纲解读及热点难点试题演练.docVIP

专题8 数列2014高考对本内容的考查主要有：(1)数列的概念是a级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是c级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用(4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题(5)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法(6)数列与函数、不等式的综合问题.试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题 1等差、等比数列的通项公式等差数列an的通项公式为ana1(n1)dam(nm)d；等比数列an的通项公式为ana1qn1amqnm.2等差、等比数列的前n项和(1)等差数列的前n项和为snna1d.特别地，当d0时，sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设snan2bn(a，b为常数)(2)等比数列的前n项和sn特别地，若q1，设a，则snaaqn.3等差数列、等比数列常用性质(1)若序号mnpq，在等差数列中，则有amanapaq；特别的，若序号mn2p，则aman2ap；在等比数列中，则有amanapaq；特别的，若序号mn2p，则amana；(2)在等差数列an中，sk，s2ksk，s3ks2k，成等差数列，其公差为kd；其中sn为前n项的和，且sn0(nn*)；在等比数列an中，当q1或k不为偶数时sk，s2ksk，s3ks2k，成等比数列，其中sn为前n项的和(nn*).4数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于anbn的前n项和，其中an是等差数列，bn是等比数列；(3)裂项法：求an的前n项和时，若能将an拆分为anbnbn1，则a1a2anb1bn1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法其主要用于求组合数列的和这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对s1，s2，s3，的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出sn，然后用数学归纳法给出证明易错点：对于sn不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求sn.例如对于数列an：a11，a23，a32，an2an1an，可证其满足an6an，在求和时，依次6项求和，再求sn.5数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.考点1、等差、等比数列中基本量的计算【例1】设数列an是公差不为0的等差数列，sn为其前n项的和，满足：aaaa，s77.(1)求数列an的通项公式及前n项的和sn；(2)设数列bn满足bn2an，其前n项的和为tn，当n为何值时，有tn512.【解析】解(1)由an是公差不为0的等差数列，可设ana1(n1)d，则由得【规律方法】求等差、等比数列通项与前n项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n项和公式的选择【变式探究】 已知数列an的前n项和为sn，a13，是公比为2的等比数列(1)证明：an是等比数列，并求其通项；(2)设数列bn满足bnlog3an，其前n项和为tn，当n为何值时，有tn2 012?考点2、与等差、等比数列有关的最值问题【例2】 等差数列an的首项是2，前10项之和是15，记ana2a4a8a16a2n，求an及an的最大值【规律方法】上述两种求an最值的方法都是运用函数思想法一是直接研究子数列a2n法二是研究an(19n22n1)的单调性求其最值【变式探究】已知等差数列an的首项a10，公差d0，由an的部分项组成的数列ab1，ab2，abn，为等比数列，其中b11，b22，b36.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)若数列bn的前n项和为sn，求sn的值；(3)求ansn的最小值【解析】解(1)由aa1a6， 考点3、等差、等比数列的探求问题【例3】 已知数列an是各项均不为0的等差数列，sn为其前n项和，且满足as2n1，令bn，数列bn的前n项和为tn.(1)求数列an的通项公式及数列bn的前n项和tn；(2)是否存在正整数m，n(1mn)，使得t1，tm，tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由【解析】解(1)n1时，由as1a1，且a10，得a11.因为an是等差数列，所以ana1(n1)d1(n1) d， 【规律方法】在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在【变式探究】 设an是单调递增的等差数列，sn为其前n项和，且满足4s3s6，a22是a1，a13的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在m，kn*，使amam4ak2？说明理由；(3)若数列bn满足b11，bn1bnan，求数列bn的通项公式【解析】解(1)设数列an的公差为d(d0)，依题意得难点一、可转为等差数列、等比数列的数列问题【例1】 已知数列an满足a11，a23，an23an12an(nn*)(1)证明：数列an1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)若数列bn满足4b114b214bn1(an1)bn(nn*)，证明bn是等差数列，得nbn22nbn1nbn0，即bn22bn1bn0，所以2bn1bn2bn(nn*)，所以bn是等差数列【规律方法】按定义证明an成等差(比)数列，可以考虑改证它的等价定义，即2an1anan2(aanan2)【变式探究】 在数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n2，q0，q1)(1)求证：数列an1an为等比数列；(2)若a6，a3，a9成等差数列，问对任意的nn*，an3，an，an6是否成等差数列？说明理由难点二、数列与恒成立问题【例2】 已知数列an满足a11，a21，当n3，nn*时，.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在kn*，使得nk时，不等式sn(21)an84对任意实数0,1恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由【解析】解(1)当n3时，nn*时，3，.当n2时，是常数列n2时，2，an2n5.an【规律方法】数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明【变式探究】设数列an的前n项和为sn，已知a11，an1n2n，nn*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有. 热点3、数列中的不等关系【例3】如果无穷数列an满足下列条件：an1；存在实数m，使得anm，其中nn*，那么我们称数列an为数列(1)设数列bn的通项为bn5n2n，且是数列，求m的取值范围；(2)设cn是各项为正数的等比数列，sn是其前n项和，c3，s3，证明：数列sn是数列；(3)设数列dn是各项均为正整数的数列，求证：dndn1.【方法技巧】不等式证明是数列问题中的常见题型，一般方法是利用不等式证明的常规方法，如综合法、分析法等直接证明方法，也可以应用反证法等间接证明方法【变式探究】已知，是方程x2x10的两个根，且.数列an，bn满足a11，a2，an2an1an，bnan1an(nn*)(1)求b2a2的值；(2)证明：数列bn是等比数列；(3)设c11，c21，cn2cn1cn(nn*)，证明：当n3时，an(1)n1(cn2cn)1设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13_.2已知等比数列an为递增数列，且a3a73，a2a82，则_.3设sn是等差数列an的前n项和，若，则_.【解析】设等差数列an的公差为d，则a12d，所以.【答案】4数列an为正项等比数列，若a21，且anan16an1(nn*，n2)，则此数列的前4项和s4_.5在等比数列an中，若a1，a44，则|a1|a2|a6|_.6(2013新课标全国卷改编)设等差数列an的前n项和为sn，sm12，sm0，sm13，则m等于_7已知公差不为零的等差数列an的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列(1)求通项公式an；(2)设bn2an，求数列bn的前n项和sn.【解析】解(1)由题意知解得所以an3n5(nn*)(2)bn2an23n58n1，数列bn是首项为，公比为8的等比数列，所以sn.8已知数列an是首项为，公比为的等比数列，设bn15log3ant，常数tn*.(1)求证：bn为等差数列；(2)设数列cn满足cnanbn，是否存在正整数k，使ck，ck1，ck2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由9已知数列an成等比数列，且an0.(1)若a2a18，a3m.当m48时，求数列an的通项公式；若数列an是唯一的，求m的值；(2)若a2ka2k1ak1(akak1a1)8，kn*，求a2k1a2k2a3k的最小值【解析】解设公比为q，则由题意，得q0.10正项数列an的前n项和sn满足：s(n2n1)sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为tn，证明：对于任意的nn*，都有tn0.所以snn2n.n2时，ansnsn12n，n1时，a1s12适合上式an2n.(2)证明由an2n，得bntn.11已知函数f(x)(x1)2，g(x)4(x1)，数列an是各项均不为0的等差数列，其前n项和为