《高数复习资料》PPT课件.ppt

1 高等数学 人类尚未开垦的最大疆域 是两耳之间的空间 主讲教师王凤英 上册 2 初等数学 代数 几何 三角 解析几何 高等数学 微积分 微分方程 7 空间解析几何 8 无穷级数 12 微积分 数学分析 用极限研究函数研究桥梁连续 一元函数微积分 1 6 多元函数微积分 9 11 1 适应初等数学到高等数学的转变 学习方法 1 预习 2 常复习 3 概念 定义 定理 性质和公式的内容理解不要死记硬背会用 据自己的实际情况和意愿 定理 性质和公式的证明过程可作了解 4 作业纸上的题要掌握 课本上带 的选作 3 2 适应教学进度 3 适应直接面授到多媒体教学的转变 4 作业问题 作业成绩作为期末总成绩的一部分 学无止境 勤能补拙 4 自学内容 附录 2 极坐标 曲线的极坐标方程 3 参数方程 5 第一章函数与极限 初等数学是常量数学 主要研究常量 高等数学是变量数学 主要研究变量 函数是变量之间的依赖关系 函数 高等数学的研究对象 极限的方法 是研究函数的基本方法 贯穿于高等数学的始终 它是初等数学与高等数学的分水岭 理解函数的概念 掌握极限的理论 学好高等数学的基础 6 第一节映射与函数 7 一 概念与性质 1 邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域 记为U a 8 分段函数是由几个不同解析式表示的一个函数 不能把它看作多个函数 只不过在定义域的不同集合 有不同的解析式而已 几个特殊的常用的分段函数 2 分段函数 分段函数的定义域 是各个有定义的不同集合的并集 要注意各段的分界点 求分界点处的函数值要注意分界点在哪个区间 9 P9例7符号函数 P10例8取整函数 10 狄利克雷函数 11 3 函数的几种特性 有界性 单调性 奇偶性 周期性 有界性 定理 在上有界 在上既有上界又下界 12 4 反函数与复合函数 设函数y f x 的定义域为D 值域为W则对于任意y0 W 必定有x0 D 使x0 y0 即 x也是y的函数 记作 x y 其定义域为W 值域为D 称为y f x 的反函数 相对于x y y f x 称为直接函数 注 在同一个坐标系中 x y 和y f x 的图像是同一条曲线 只不过自变量所在的坐标轴不同 习惯上 总是以x作为自变量 函数记做 y x 在同一个坐标系中 y x 和y f x 的图像是不同的两条曲线 它们关于直线y x对称 1 反函数 13 例 的反函数可写成 14 2 复合函数 则 设有函数链 称为由 确定的复合函数 u称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如 函数链 但可定义复合函数 时 虽不能在自然域R下构成复合函数 可定义复合函数 当改为 15 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 约定 为简单计 书写复合函数时不一定写出其定义域 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件 注意 16 5 五种基本初等函数与初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 2 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数 称为初等函数 注 一般情况下 分段函数不是初等函数 特别的 是初等函数 因为 17 非初等函数举例 符号函数 当x 0 当x 0 当x 0 取整函数 当 18 6 双曲函数与反双曲函数 双曲余弦 19 双曲正切 20 双曲函数与反双曲函数都是初等函数 21 直积 笛卡儿乘积 差集 简称差 函数的自然定义域 对抽象的用算式表达的函数 使算式有意 义的自变量的取值范围称为函数的自然定义域 注 M为数集 表示M中排除0的集 表示M中排除0与负数的集 22 例1设 且 求的自然定义域 解 由上面的等式解得 又因为 所以 三 例题 1 求函数的定义域 23 2 求函数解析式 24 解 P2216 25 3 求复合函数的复合过程 分解后的函数是 基本初等函数或其四则运算形式 解 26 4 求反函数 解 所以反函数为 27 5 函数特性讨论举例 因此 函数f x 在R上是有界 单增的奇函数 非周期函数 绝对值不等式 例6设函数 28 例7常数函数 y C 显然 常数函数是有界的偶函数 无单调性 可以看作以任意常数为周期 当C 0时 是唯一的既奇又偶的函数 29 证明 例8