高考数学总复习 第十单元 第七节 抛物线课件.ppt

第七节抛物线 抛物线定义及其运用 分析由动点满足的几何条件判断出点的轨迹类型求解 解 规律总结 1 上述解法运用抛物线定义 求抛物线方程及计算过焦点的弦长 该解法简单易行 一般来说涉及到焦点弦的问题都要运用定义求解 2 抛物线的焦半径 准线 对称轴及动点到准线距离这四条线围成一个直角梯形 与抛物线有关的问题经常借助平面图形的几何性质求解 变式训练1已知点a 3 2 f为抛物线y2 2x的焦点 p在抛物线上移动时 求 pa pf 的最小值 并求这时点p的坐标 解析 如图所示 点a 3 2 在抛物线内部 作pq垂直于准线l 垂足为q 因为 pf pq 所以 pa pf pa pq 所以过a作准线l的垂线交抛物线的点p可使 pa pf 取最小值 这时p点的纵坐标为2 横坐标为2 所以p点坐标为 2 2 抛物线的标准方程与几何性质 抛物线的顶点是双曲线16x2 9y2 144的中心 而焦点是该双曲线的左顶点 求此抛物线的方程 分析运用待定系数法 直接求p 规律总结 1 求抛物线的标准方程 从形式上看 仅需确定一个待定系数p 而从实际条件分析 一般需确定p值和开口方向两个条件 否则应展开相应讨论 若焦点在x轴上 开口有向左或向右两种情况 可设方程为y2 ax a 0 以避免讨论 简化运算过程 2 确定抛物线方程 在 定型 之后 主要确定 焦参数p 的值 此时一般有两种途径 一是从p的几何意义焦点到直线的距离入手 二是视p为参变量 利用题设条件 构建关于p的方程 用解方程的思想方法求之 变式训练2已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 且与圆x2 y2 4相交的公共弦长等于2 求此抛物线方程 直线与抛物线的位置关系 求过定点p 0 1 且与抛物线y2 2x只有一个公共点的直线方程 分析曲线交点个数转化成方程组解的个数 讨论方程组的解 同时注意数形结合 规律总结 1 当直线与抛物线相交时 弦长 弦中点的问题一般结合韦达定理 整体代入计算 2 抛物线的焦点弦的性质 设ab是过抛物线y2 2px p 0 焦点f的弦 a x1 y1 b x2 y2 则 性质1 由抛物线的定义易得 ab x1 x2 p 性质2 由根与系数的关系易得x1x2 y1y2 p2 性质3 由几何图形易得以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 性质4 过焦点f且垂直于对称轴的弦称为通径 通径是最短的焦点弦 长度为2p 变式训练3已知抛物线y2 x与直线y k x 1 相交于a b两点 求证 oa ob 抛物线的综合问题 12分 已知抛物线c y 2x2 直线y kx 2交c于a b两点 m是线段ab的中点 过m作x轴的垂线交c于点n 证明 抛物线c在点n处的切线与ab平行 由题目条件可知m n两点横坐标相同 从而建立n的坐标与k的关系 然后由相切求出切线斜率即可 分析 规律总结证明题一般需要设辅助量 因此运算量较大 对运算要求较高 解决此类问题一定要做到思前行后 否则易陷入繁杂的运算中 变式训练4如图 倾斜角为 的直线经过抛物线y2 8x的焦点f 且与抛物线交于a b两点 1 求抛物线的焦点f的坐标及准线l的方程 2 若 为锐角 作线段ab的垂直平分线m交x轴于点p 证明 fp fp cos2 为定值 并求此定值 1 求抛物线的标准方程 1 定义法 根据条件确定动点满足的几何特征 从而确定p的值 得到抛物线的标准方程 2 待定系数法 根据条件设出标准方程 再确定参数p的值 这里要注意抛物线标准方程有四种形式 从简单化角度出发 焦点在x轴的 设为y2 ax a 0 焦点在y轴的 设为x2 by b 0 过点 0 3 的直线l与抛物线y2 4x只有一个公共点 求直线l的方程 错解设直线l的方程为y kx 3 将其代入y2 4x 整理得k2x2 6k 4 x 9 0 则由 0解得k 直线l的方程为y x 3 错解分析上述解法只考虑了直线的斜率k存在的情况 而忽视了k不存在以及直线l平行抛物线对称轴时的两种情形 正解当斜率k存在且k 0时 由上述知直线l的方程为y x 3 当k 0时 直线l的方程为y 3 此时l平行于对称轴 且与轨物