初三总复习---相似、解直角三角形复习建议.doc

西城区教育研修学院初三数学研修活动 2015.3.26相似、解直角三角形复习建议北京第一六一中学 张凤华 2015.3.26一、2015年北京考试说明：（一）1. 图形的相似A. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；认识图形的相似；了解相似多边形和相似比，了解图形的位似；知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；B. 掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（新增）；会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。2. 相似三角形：A. 了解相似三角形的性质定理与判定定理；B. 能利用相似三角形的性质定理与判定定理解决有关简单的问题。（二）解直角三角形A. 理解锐角三角函数 (sinA，cosAtanA)的概念；知道30、45、60角的三角函数值，了解解直角三角形的概念B. 能利用锐角三角函数的有关知识解直角三角形，能利用锐角三角函数的有关知识解决某些简单的实际同题(2014年是C级)二、复习建议1依据、对照考试说明的要求进行全面复习，重点知识重点复习、知识系统复习全面、非重点的A级知识点适当安排、不漏过，不随意拔高难度；2B级的知识要落实到位；C级知识要达到灵活运用；3注重方程思想与相似、解直角三角形、圆的综合；4教会学生观察复杂的几何图形，善于分解出基本图形，熟练的应用几何中定义、定理、公式来解题； 5.逆向思维是寻求几何证题思路的有效途径；6.去模式化，重知识，重思想；7.重视学生思路的收集，关注学生的学习过程，给予有效的学习方法指导。三、课时安排建议安排4课时左右1. 解直角三角形（2课时）2. 相似（2课时）ABCDE四、近五年北京市中考试题2010年：3. 如图，在ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE/BC，若AD：AB=3：4， AE=6，则AC等于（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 82011年：4. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O，若，则 的值为( )A. B. C. D. 2012年：11如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，测得边DF离地面的高度，则树高_m 2013年：5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得ABBC，CDBC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 2014年：10在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为15m19如图，在平行四边形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，ABC=60，求tanADP的值22阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在ABC中，点D在线段BC上，BAD=75，CAD=30，AD=2，BD=2DC，求AC的长小腾发现，过点C作CEAB，交AD的延长线于点E，通过构造ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）请回答：ACE的度数为，AC的长为参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图 3，在四边形 ABCD中，BAC=90，CAD=30，ADC=75，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长五、具体内容第1课时：相似（一）考点1会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算考点2 会用比例的基本性质解决有关问题考点3 会利用三角形的相似解决一些实际问题考点4 会能利用位似变换将一个图形放大或缩小例1 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F， SDEF：SABF=4：25，求DE：EC的值. 2:3例2.如图，在中，于点已知DB=2，AD=8.求AC,BC,CD的长. CABDEF例3.如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DECE），连接AE，并过点E作AE的垂线交BC于点F,若AB=9,BF=7,求DE长.例4（ZFX / P69例2）已知：如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD与点P，Q. （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1的除外）；（2）求BP:PQ:QR的值. 例5（ZFX / P69例3）已知：如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD=3cm,BC=7cm,B=60,P为下底BC上一点（不与B、C重合）. 连接AP，过P点作PE交DC于E，使得APE=B (1) 你认为图中哪两个三角形相似，为什么？(2) 当点P在底边BC上自点B向C移动过程中，是否存在一点P，使得DE:EC=5:3，如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由. 练习：1.（2014四川泸州）如图，在直角梯形ABCD中，DCAB，DAB=90，ACBC，AC=BC，ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）ABCD（作FGAB于点G，选：C）2. 在矩形ABCD中，DC=2，CFBD分别交BD、AD于点E、F，连接BF（1）求证：DECFDC；（2）当F为AD的中点时，求sinFBD的值及BC的长度 ,23. 如图，在RtABC中，C=90，翻折C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）（1）若CEF与ABC相似当AC=BC=2时，AD的长为 ；当AC=3，BC=4时，AD的长为 ；1.8或2.5（2）当点D是AB的中点时，CEF与ABC相似吗？请说明理由相似4.（ZFX / P70例4）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12,点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P.（1） 设DE=m(0m12)，试用含m的代数式表示的值；（2） 在（1）的条件下，当时，求BP的长. 5.（2014四川巴中）如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点坐标分别为A（2，4），B（2，1），C（5，2）（1）请画出ABC关于x轴对称的A1B1C1（2）将A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出A2B2C2（3）求A1B1C1与A2B2C2的面积比，即：=1：4（不写解答过程，直接写出结果）第2讲：相似（二）（侧重于相似在其它章节的应用）专题训练：1.（2014年河南）如图，在直角梯形OABC中，BC/AO，AOC=900，点A、B的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D为AB上一点，且BD=2AD.双曲线y=（x0）经过点D,交BC于点E.（1）求双曲线的解析式；(y=)（2）求四边形ODBE的面积.(四边形ODBE的面积为12.)2. 含30角的直角三角板ABC中，A=30.将其绕直角顶点C顺时针旋转角（0o90o），得到Rt，边与AB所在直线交于点D，过点D作DE交边于点E，连接BE.求证：CBE=30.3如图，ABC中，ABC=，将ABC绕点A顺时针旋转得到AB C ，设旋转的角度是（1）如图，当= （用含的代数式表示）时，点B 恰好落在CA的延长线上；（2）如图，连结BB 、CC ， CC 的延长线交斜边AB于点E，交BB 于点F请写出图中两对相似三角形 ， （不含全等三角形），并选一对证明 图 图 图4如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直当点P在直线l上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将ACP绕点C按逆时针方向旋转得到BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（）（1） = ；（2）如图，当点P与点B在直线AC的同侧，且时，求点Q到直线l的距离.5. 将两块全等的三角板如图摆放，其中A1CB1=ACB=90，A1=A=30（1）将图中的A1B1C顺时针旋转45得图，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BEP1B时，求P1BE面积的最大值（CQ=，P1BE面积的最大值是）6已知：ABC，DEF都是等边三角形，M是BC与EF的中点，连接AD，BE.（1）如图1，当EF与BC在同一条直线上时，直接写出AD与BE的数量关系和位置关系；（2）ABC固定不动，将图1中的DEF绕点M顺时针旋转（）角，如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请加以证明；若不成立，说明理由； 图2备用图图1 (，)7矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处图1 图2（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA 求证：OCPPDA； 若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO和OP，连接BP动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作MEBP于点E试问动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由（AB的长是10，线段EF的长度不发生变化，EF=）8. （2014山东烟台）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，ACB=90，OA=，抛物线y=ax2axa经过点B（2，），与y轴交于点D（1）求抛物线的表达式；(y=x2x)（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；(点B关于直线AC的对称点在抛物线上)（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明EDAC的理由第1讲：解直角三角形（一） 一、主要知识点：(一)锐角三角函数的定义：1.在RtABC中，C=90，AC=4，AB=5，则sinB的值是 2. 如图所示，ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（ ）AB CBAC D3. 在ABC中，C=90，cosA=，求sinA 、tanA的值.（二）特殊角的三角函数值：2. 2sin260tan45+cos30tan303. (三) 解直角三角形：1. 如图，ABC中，A=30，求AB的长.2. 如图，在四边形中，, 于点， ，求的长. ADECBOADECBO3. 如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DEAC，CEBD， 求证：四边形OCED是矩形; 若AD=5，BD=8，计算的值.4. 如图，在ABC中，D为AB边上一点、F为AC的中点，过点C作CE/AB交DF的延长线于点E，连结AE求证：四边形ADCE为平行四边形若EF=2，求DC的长5. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD求证：四边形ABEF是菱形；若AB=4，AD=6，ABC=60，求tanADP的值二、相关练习1如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tanEFC=，那么该矩形的周长为（A）A72cmB36cmC20cmD16cm2如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等， 若等腰直角ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin的值是（D）ABCD3如图，已知O的半径为1，锐角ABC内接于O，BDAC于点D， OMAB于点M，则sinCBD的值等于（A）AOM的长 B2OM的长 CCD的长D2CD的长4.在RtABC中，C=90，如果cosA=，求tanA的值.5. 计算6. 如图，在RtABC中，C=90，点D在AC边上若DB=6，AD=CD， sinCBD=，求AD的长和tanA的值7. 如图，四边形ABCD中，BAD=135，BCD=90，AB=BC=2， tanBDC= (1) 求BD的长；(2) 求AD的长8. 如图，在ABC中，ACB=90，ABC=30，BC=，以AC为边在ABC的外部作等边ACD，连接BD（1）求四边形ABCD的面积；（2）求BD的长9.（ZFX / P75例3）如图，在ABC中，C=90，A=30，E为AB上一点，且AE：EB=4:1，EFAC于点F，连接FB.求tanCFB的值. 10.（ZFX / P75例4）（1）如图，在ABC中， ACB=105，A=30，AC=8，求AB和BC的长？（2）在ABC中， ABC=135，A=30，AC=8，求AB和BC的长？（3）在ABC中，AC=17，AB=26，锐角A满足sinA=，求BC的长及ABC的面积？若AC=3，其他条件不变呢？11.（ZFX / P75例5）在ABC中，A=30，BC=3，AB=，求BCA的度数和AC的长。第2讲：解直角三角形（二）考点1能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题考点2会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题考点3求能综合运用直角三角形的性质解决有关的问题专题训练1.（2014遵义）如图，一楼房AB后有一假山，其坡度为i=1：，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米，与亭子距离CE=20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45，求楼房AB的高（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）( 答：楼房AB的高为（35+10）米) 2. （2014山东潍坊）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是600，然后：沿平行于AB的方向水平飞行1.99104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是450，求两海岛间的距离AB(答：两海岛之间的距离AB是(19000-3003）米 )3（2014湖南怀化）两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在FME的内部（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（+1）km，在M处测得点C位于点M的北偏东60方向，在N处测得点C位于点N的北偏西45方向，求点C到公路ME的距离解答：解：（1）答图如图：（2）作CDMN于点D，由题意得：CMN=30，CND=45，在RtCMD中，=tanCMN，MD=；在RtCND中，=tanCNM，ND=CD；MN=2（+1）km，MN=MD+DN=CD+CD=2（+1）km，解得：CD=2km点C到公路ME的距离为2km4.（2014湖南张家界）如图：我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A点观测到我渔船C在北偏