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武汉市住房模型第三组-第十队 组员：颜琴、谢飞平、苏林伟摘要 住房问题已经成为当前中国城市居民最关心的问题，主要原因是住宅的价格上涨太快，一边是老百姓买不起房，一边是住房市场供不应求，价格不断上涨。买房还是租房，已经成为一个两难的问题 。本论文针对这一现象，从居住者的角度讨论了在武汉是买房还是租房合算的问题，又从一个投资者的角度综合考虑所有可能影响因素，对住房投资做出决策，并给正受到买房还是租房所困扰的人们写一了份建议书。针对问题一：我们要解决的是从居住者的角度讨论了在武汉是买房还是租房合算的问题。考虑货币的时间价值，我们想到了序列终值的求解该问题。首先我们通过查资料找到武汉市历年的平均房价和通货膨胀率，分别用时间序列的二次移动平均预测法和区间预测法预测了未来二十年的武汉市房价走势情况和通货膨胀率。然后计算出租房的租金终值，而买房分别采用等额本息法、等额本金法和钱货两清法去付款（贷款都按二十年还清），再分别计算出所付贷款在m年后的序列终值，比较出采用钱货两清的方法更加划算。最后用钱货两清所算的序列终值与折旧的和与租房的序列终值与机会成本的差进行比较，从而得出作为一个居住者，从长远看，在武汉市买房更加划算，从短期来看，租房更加合算。针对问题二：我们要解决的问题是从一个投资者的角度，根据市场房屋价格的变化情况，为家庭进行住房投资做出决策。我们建立了成本和收益的模型，分别讨论出不买房只储蓄、储蓄买房、贷款买房（等额本金还贷与等额本息还贷）3种基本情况的投资情况，并对其进行讨论和分析，最后作出合理决策。 针对问题三：我们根据问题一与问题二所得出的结论，给正受到买房还是租房所困扰的人们写一了份建议书，详情请看六、建议书。关键字： 时间价值 序列终值 时间序列预测法 区间预测一、问题重述背景：住房问题已经成为当前中国城市居民最关心的问题，主要原因是住宅的价格上涨太快，很多城市已经出现这样的情景：一边是大量的老百姓买不起房，一边是住房市场供不应求，价格不断上涨。买房还是租房，于是成了困扰很多人的问题。具体问题：问题一，从一个居住者的角度，对比武汉买房和租房的花费情况，分析在武汉市租房和买房哪个合算。问题二，从一个投资者的角度，根据市场房屋价格的变化情况，综合考虑各种因素（如家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等），建立数学模型，为家庭进行住房投资做出决策。问题三，根据所建模型的结果，给正受到买房还是租房所困扰的人们写一份建议书。二、 问题分析对于问题一，我们考虑货币的时间价值，用序列终值法计算出房租和月付款的年近终值，我们考虑到通货膨胀率并不是一成不变的，故我们用GM（1 1）区间预测法预测了未来二十年的通货膨胀率，同时用时间序列的二次移动平均法预测出了未来武汉市的房价走势情况。从住房者的角度，考虑到住房者可能选择的付款方式，我们分别采用等额本息法、等额本金法和钱货两清法计算出居住者所付贷款的在居住m年的序列终值，讨论住房者应该选择的最划算的选择方式。并计算出最划算的选择方式的序列终值与折旧的和，并与租房的序列终值与机会成本的差进行比较，讨论住房者应该选择的最划算的选择方式。对于问题二，考虑到住房投资的成本要受到多方面的影响，家庭收入、租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等，又由于买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。据此我们分别讨论不买房只储蓄、储蓄买房、贷款买房（等额本金还贷与等额本息还贷）三种基本情况下成本和收益的相对关系，分别得出了各种投资决策下的用户成本和收益的的关系， 从而为家庭进行住房投资做出了决策。对于问题三，我们总结问题一和问题二，写了一份建议书。三、 模型假设1、 政府对房屋暂不进行调控；2、 经济波动较不明显，不会出现房地产泡沫破裂现象；3、在按揭付款时期，买房者经济来源稳定，有能力偿还每月应付贷款；4、本文所用数据来源可靠；5、消费者都是理性的.四、 符号说明符号说明T房屋总价a首付比例（a=30%）S贷款总额按揭执行基准利率n还款总期数（年）m居住期数（年）第i年还款额第i年还款本金第i年还款利息i第i年还贷款第i年通货膨胀率房租终值等额本息法按揭付款终值等额本金法按揭付款终值钱货两清付款终值定期存款的年利率k折旧率平均房屋空置率第i年房屋空置率第i年的房租房产升值s可买房屋面积第i年的房屋每平方米的年租金买房收入买房支出A表示超出的月数（A=1，2，3，240）xn表示第n月的房价表示一次移动平均值表示一次移动平均值表示二次移动平均法的预测模型表示二次移动平均法的预测模型表示超出第A月的预测值五、 模型建立与求解5.1问题一的模型建立与求解由于考虑货币的时间价值，我们自然想到了序列终值的概念，我们的序列终值是建立在通货膨胀率改变的基础上的，序列终值图（如图一所示） 膨胀率 . .0 1 2 3 4 . m-1 m还款： . 图一：序列终值时间价值图.则序列终值:由于住宅的价格一直在变化，首先我们用时间序列的二次移动平均法预测出了武汉市未来20年每个月的房价，在根据预测的数据算出这二十年的每年平均房价。时间序列预测法原理：一方面承认事物发展的延续性，因为任何事物的发展总是同他过去有着密切的联系的。因此运用过去时间序列的数据进行统计分析，就能够推测事物的发展趋势；另一方面，又充分考虑到事物发展偶然因素的影响而产生的随机性和不规律性，为了消除随即波动的影响，利用历史数据，进行统计分析，并用移动平均法对数据加以适当的处理，进行趋势预测。我们在亿房网查到武汉市近十个月房价的数据如下表一：表一：武汉市近十个月的房价情况时间房价(元/平方米)时间房价(元/平方米)2011.0976532012.0275722011.176722012.0376142011.1176352012.0475862011.1275642012.0575862012.0176262012.067666利用上面表一数据，采用二次移动平均法，设时序为x1，x2，xn，对其中连续N=3(n)个数据点进行算术平均，得t 时点的一次移动平均值和二次移动平均值，分别记为，；一次移动平均值的表达式：；同理对再进行移动平均可得到二次移动平均值，其表达式为；二次移动平均法的预测模型为:；模型中的参数 ；按以上过程在excel中进行数据处理预测可得出未来二十年每个月的房价（见附录一）根据预测出的数据算出2012-2031年年平均房价，如下表二： 表二：2012-2031年平均房价预测结果年份平均房价（元/平方米）年份平均房价（元/平方米）20127640202292062013779020239363201479472024952020158104202596782016826220269835201784192027999220188576202810150201987342029109072020889120301046420219048203110622查资料得出武汉市的租售比大概为1:300，根据租售比，利用表二的数据可算出武汉市未来二十年的房屋年租金，如下表三：表三：武汉市未来二十年的房屋年租金（单位：元/平方米）年份房租（元/平方米）年份房租（元/平方米）20123062022368201331220233752014318202438120153242025387201633020263932017337202740020183432028406201934920294362020356203041920213622031425然后我们再采用GM（1 1）区间预测2010-2031年通货膨胀率的变化趋势，通过查找资料得出1980-2009年的通货膨胀率变化表如下表四：表四：1980-2009年通货膨胀率变化表年份通货膨胀率年份通货膨胀率年份通货膨胀率1980619903.120000.419812.419913.420010.719821.919926.42002-0.819831.5199314.720031.219842.8199424.120043.919859.3199517.120051.819866.519968.320061.519877.319972.820074.8198818.81998-0.820085.91989181999-1.42009-0.7为了更好的观察其变化趋势，便于预测我们画出其折线图如下：图二：1980-2009年通货膨胀率变化图由图可知，我们可以近似的看出它的变化是有周期性的波动，并设其周期为20年，每个周期会出现四个波峰和四个波谷，且在每个周期内波峰是递增的，据此，我们对其未来变化趋势采用灰色预测中的区间预测。根据表一与图一数据建立GM（1,1）区间预测模型，我们先建立波峰的预测模型：1、 原始序列：=（6 9.3 18.8 24.1 0.7 3.95.9）;2、 对进行一次累加得=（615.334.158.258.962.868.7）；3、 对做紧邻均值生成得=（10.65 24.746.1558.5560.8565.75）；4、 令，；5、 对进行最小二乘估计得=；6、 预测函数： 波谷的预测步骤同上。按照上述步骤，我们最终可预测出20102031年间出现五个波峰和四个波谷分别为：波峰：5.3749578 4.48505484 3.7424883443.1228646042.605828646;波谷：0.0033161 0.00094734 0.000270631 0.000077313. 则得出其前四个波的波动区间分别为【0.0033161，5.3749578】，【0.00094734，4.48505484】，【0.000270631，3.742488344】，【0.000077313，3.122864604】.依据上述说明，我们可以模拟出20102031年的波动情况，如下表五：表五：20102031年通货膨胀率预测变化表年份通货膨胀率年份通货膨胀率2010020210.420111.220222.120122.52023120135.120240.520141.720251.220150.120261.620160.220272.420170.520280.820180.120290.12019020301.320200.220312.6并画出了1980-2031年的变化趋势图如下：图三：1980-2031年的通货膨胀率变化趋势图分析上图可得，预测出的未来通货膨胀率变化趋势与历史通货膨胀率变化趋势较吻合，所以说该预测结果合理。消费者有两种选择，买房和租房，假设付款期限n为20年，消费者居住期限m也为20年，下面我们从买房和租房的角度分别进行讨论：租房：将首付的钱存入银行，假设租房者采用定期存款方式存款20年，则得到机会成本为：买房首付款的机会成本：=每月房租低于按揭款部分的机会成本：将我们预测得到的房租折算成终值得： = 8127.6元/平方米.买房：对居住者可能采用的付款方式进行分析如下：居住者可能采用一定比例的首付其余的按揭还贷的方式和钱货两清三种方式，由于三种选择在决定买房时，都付了首付，所以首付不影响问题的分析， （1）等额本息法：即把按揭贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月中，每个月的还款额是固定的，但每月还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减。由此可知每一年还给银行的贷款是相同的，故，我们用X表示第i年所欠银行贷款为:时，时，由此可得第i年后所欠银行贷款为： 由于还款总期数为n，也即第n年刚好还完银行所有贷款，因此有： =0由此求得： 将X带入解得： 我们从/lilv/fangdaililv/201204/294387.html查到了按揭执行基准利率，从/view/f3613ddfad51f01dc281f10b.html查到了定期存款利率.将，,，a带入，解得= 5348元/平方米其中是2012年的房价=11284.28元/平方米（2）等额本金法：指贷款人将本金分摊到每年内，同时付清上一交易日至本次还款日之间的利息。等额本金还款法其计算公式如下： 年还款本金：； 年还款利息：年还款额：将带入解得：将，带入，解得=10536元/平方米（3）钱货两清法：将所付款折算成终值得：将,，a带入得：=6792元/平方米将三种还款方式进行比较，情况如下：= 748.72元/平方米=4492.3元/平方米 =3743.6元/平方米得,所以若选择买房，则选择钱货两清方式更加划算。：=8127.606-3765-1047.1=3315.506元/平方米O=+房地产税-房产升值+折旧=1.27S+0.019*S/0.7-0.0156*S/T+0.146*0.3S因为3315.506n)时，租房者每年要比卖房者多给元/平方米，随着m越来越大，买房的优势也越来越体现，在某一年之后买房会比租房更加划算，在此我们暂不进行分析。综上所述: 得出作为一个居住者，从长远看，在武汉市买房更加划算，从短期来看，租房更加合算.5.2、问题二的模型建立与求解从一个投资者的角度，买房的主要收入是房租和房产升值，主要成本是按揭的债务和投入本金的机会成本，外加房屋持有成本。租房的主要收入是省下来的买房首付款加上每月房租低于按揭款部分的投资收益，主要成本就是房租。则我们分五种情况讨论：5.2.1不买房，只储蓄将投资的本金W存入银行，得到利息作为投资收益利润设一开始投资的本金为W，银行利率为，则n年之后获得的总金额为 其中n=20,得到：5.2.2储蓄买房 将投资的本金W全部用于买房（钱货两清），得到买房收入作为投资收益利润由于房屋空置率与每平米年租金成正比，设它们的比例系数为0.01.空置率为：可买房屋面积：买房收入=房租+房产升值，即房产升值：=买房收入：=其中是平均空置率。买房支出=房屋持有成本(房产税)+折旧损失(一般折旧率k=0.019)，即买房支出： 买房总收益=投资本金+买房收入买房支出：5.2.3贷款买房将投资的本金W全部用于首付款，剩下的到银行贷款，用按揭还款的方式进行还贷，把还款金额作为支出，我们采用等额本金法和等额本息法进行还贷空置率为：可买房屋面积：买房收入=房租+房产升值,即房产升值：=买房收入：=（1） 等额本息法买房支出=按揭的债务+房屋持有成本+折旧损失，即买房支出： 买房总收益=投资本金+买房收入买房支出：（2） 等额本金法买房支出=按揭的债务+房屋持有成本+折旧损失，即买房支出： 买房总收益=投资本金+买房收入买房支出：将等额本金法与等额本息法的投资收益进行比较，作为一个理想的投资者，会选择按等额本金法还款。 分析上述三种情况,若你有一些储蓄，则选择将投资金额用钱货两清法买一套房子，再通过租房赚取利益，这是三种情况中能使你利益达到最大的投资方案，若你是中等经济水平的投资者，你可以根据自身的收入情况来选择等额本金法或等额本息法来进行投资，从数据中我们可以看出，等额本金法的投资收益高于等额本息法，两种方案有各自的优缺点。将投资本金放入银行中赚取利息是投资利益最小的一种方案。5.3问题三的解答建议书住房问题已经成为当前中国城市居民最关心的问题，主要原因是住宅的价格上涨太快，很多城市已经出现这样的情景：一边是大量的老百姓买不起房，一边是住房市场供不应求，价格不断上涨。有住房还是有房住成了困扰很多人的问题。作为一个居住者，若只从短期来看，买房的压力是明显大于租房的压力的，从长远来看，买房的优势随着时间的增长越发明显，出于消费者的买房心理和对未来房地产会不断增值的想法，大部分人都会选择买房，从我们对等额本金法，等额本息法和钱货两清法三种还款法的分析可知钱货两清法在三种还款方式中最划算，但是购房者要具备能一次性付清房钱的能力，大部分群众在买房初期没有多少存款，又出于买房心理，所以我们建议先租房，在有一定的积蓄之后再考虑买房。选择买房时可以根据自身的收入情况来选择还贷方式，根据我们的计算，等额本金法在总还款金额上是比等额本息法划算的，这种还款方式随着本金的不断归还，后期未归还的本金的利息也就越来越少，每个季度的还款额也就逐渐减少。这种方式较适合于已经有一定的积蓄，但预期收入可能逐渐减少的借款人，例如中老年职工家庭，其现有一定的积蓄，但今后随着退休临近收入将递减的群体，等额本息法比较适合那些收入处于稳定状态的家庭，买房自住，经济条件不允许前期投入过大的群体，如公务员、教师等收入和工作机会相对稳定的群体。 作为一个投资者，综合考虑各种因素租金收入、储蓄及贷款利率、房屋折旧率、房屋空置率等我们同样要根据自身收入的情况制定出适合自己投资方案，若你有一些储蓄，则选择将投资金额用钱货两清法买一套房子，再通过租房赚取利益，这是三种情况中能使你利益达到最大的投资方案，若你是中等经济水平的投资者，你可以根据自身的收入情况来选择等额本金法或等额本息法来进行投资，从数据中我们可以看出，等额本金法的投资收益高于等额本息法，两种方案有各自的优缺点。而将投资本金放入银行中赚取利息是投资利益最小的一种方案。六、模型的评价优点：全面分析了消费者买房与租房的开销情况，为解决消费者根据自身情况买房还是租房问题提供了合理的方案，我们从还贷的方式进行了充分的讨论，根据买房者的目前及未来的经济情况，制定出了适合买房者的最好还贷方式。具有较大的实际意义，对解决买房者的困扰有很大的帮助。缺点： 市场经济难以预测，房地产随时可能出现泡沫破裂现象，政府可能会进行宏观调控来干预房地产的持续涨价，买房者的经济情况不能保证，难免会出现失业而供不起还贷的款额现象。参考文献：1姜启源，谢金星.数学模型M，高等教育出版，2007年；2费浦生，羿旭明.数学建模及其基础知识详解M, 湖北：武汉大学出版社，2006.5；4李火林，邓声南，甘筱青.数学模型及方法M,江西：江西高校出版社，1997.6;5 蔡锁章.数学建模原理与方法M，海洋出版社，2000.6;6（美）卡茨，罗森.微观经济学M,机械工业出版社，2010.9;7胡志勇.财务管理M，北京：北京理工大学出版社，2009.09附录一：表：未来二十年每个月的房价（元/平方米）时间房价时间房价时间房价时间房价时间房价时间房价2012.0776392015.1181632019.0386882022.0792122025.1197372029.03102612012.0876522015.1281762019.0487012022.0892252025.1297502029.04102742012.0976652016.0181902019.0587142022.0992382026.0197632029.05102872012.1076782016.0282032019.0687272022.1092522026.0297762029.06103002012.1176912016.0382162019.0787402022.1192652026.0397892029.07103142012.1277042016.0482292019.0887532022.1292782026.0498022029.08103272013.0177182016.0582422019.0987662023.0192912026.0598152029.09103402013.0277312016.0682552019.1087802023.0293042026.0698282029.10103532013.0377442016.0782682019.1187932023.0393172026.0798422029.11103662013.0477572016.0882812019.1288062023.0493302026.0898552029.12103792013.0577702016.0982942020.0188192023.0593432026.0998682030.01103922013.0677832016.1083082020.0288322023.0693562026.1098812030.02104052013.0777962016.1183212020.0388452023.0793702026.1198942030.03104182013.0878092016.1283342020.0488582023.0893832026.1299072030.04104322013.0978222017.0183472020.0588712023.0993962027.0199202030.05104452013.1078362017.0283602020.0688842023.1094092027.0299332030.06104582013.1178492017.0383732020.0788982023.1194222027.0399462030.07104712013.1278622017.0483862020.0889112023.1294352027.0499602030.08104842014.0178752017.0583992020.0989242024.0194482027.0599732030.09104972014.0278882017.0684122020.1089372024.0294612027.0699862030.10105102014.0379012017.0784262020.1189502024.0394742027.0799992030.11105232014.0479142017.0884392020.1289632024.0494882027.08100122030.12105362014.0579272017.0984522021.0189762024.0595012027.09100252031.01105502014.0679402017.1084652021.0289892024.0695142027.10100382031.02105632014.0779542017.1184782021.0390022024.0795272027.11100