二次函数知识点义.doc

二次函数【一】定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.（2）注意： 二次项系数不为“0”； 未知数最高指数为“2”； 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。例1、若是二次函数，则m的值为 变式训练：若是二次函数，则的值为。【二】、二次函数解析式的表示方法1、一般式：（，为常数，）；2、顶点式：（，为常数，）；3、两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.【三】二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： 有开口方向；有对称轴；有顶点。开口方向：对称轴：顶点：增减性：极值： 【四】二次函数图像的画法五点法：1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴2、求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 请根据给出的已知点画出下面的二次函数的图像。 开口方向：对称轴：顶点：增减性：极值：【四】二次函数的性质表达【五】二次函数三种形式的图像草图画法。1、顶点式：（，为常数，）；x=2x=-2（-2，1）（2，6）开口方向：对称轴：顶点：增减性：极值：开口方向：对称轴：顶点：增减性：极值：总结：开口方向：对称轴：顶点：增减性：极值：练习：请画出y=3(x+2)2-3的草图。开口方向：对称轴：顶点：增减性：极值：1、 一般式： （，为常数，）；总结：二次函数用配方法可化成：的形式，即：开口方向： 对称轴：顶点：增减性：极值：练习：请画出y=x2-2x+3的草图。3、两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 练习：请画出y=2(x-2)(x+4)的草图。练习：画出下列二次函数的草图。1y=x2-3x+22. y=-(x+2)2-33. y=2(x+2)(x-4)例：二次函数，当1时，_；与轴的交点坐标是_，与轴的交点坐标是_；对称轴是_顶点坐标是_（4）1. 物线，与轴的交点坐标是 _ ，与轴的交点坐标是_；对称轴是_顶点坐标是_当_时，32、y=-3(x+2)(x-4)， 与轴的交点坐标是 _ ，与轴的交点坐标是_；对称轴是_顶点坐标是_3、y=-(x+2)2-3，与轴的交点坐标是 _ ，与轴的交点坐标是_；对称轴是_顶点坐标是_4、y=-2x2-3，与轴的交点坐标是 _ ，与轴的交点坐标是_；对称轴是_顶点坐标是_画出草图为：5、抛物线的顶点在原点，则m= 6、如图抛物线对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,若B点的坐标是(,0),则A点的坐标是 7、已知抛物线y=(x - 4)2 - 3的部分图像(如图) 图像再次与x轴相交时的坐标是（ ）(A) (5，0) (B) (6，0) (C) (7，0) (D) (8，0)8、已知点A（1,）、B（）、C（）在函数上，则、的大小关系是( )A B C D 9、开口向下的抛物线的对称轴经过点（1，3），则_。10、抛物线上有两点（3，8）和（5，8），则对称轴是 。11、已知二次函数，则当m= 时，其最大值为0.【六】二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0)(=0)(0时，抛物线开口向上 0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）总结：已知抛物线的图象的草图怎样确定a，b，c及的符号a的符号：由开口方向决定；的绝对值越大，开口越小；c的符号：由抛物线与y轴的交点（0，c）的位置来决定；b的符号：由对称轴的位置及已确定a的符号一起决定（同左异右）；的符号：由抛物线与x轴交点的个数确定；的符号：由时，函数值的符号决定；的符号：由时，函数值的符号决定典型例题：抛物线如图所示：看图填空：（1）_0；（2） 0；（3） 0;（4） 0 ;(5)_0；2.51（6）；（7）；（8）；（9）练习：1.根据图象填空： （1）_0；（2） 0； （3） 0;（4） 0 ;(5)_0；（6）； （7）；2、在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（ ）OxyOxyOxyOxyABCD3、反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图，它们的解析式可能Oxy分别是（ ）（A）y=，y=kx2-x （B）y=，y=kx2+x （C）y=-，y=kx2+x （D）y=-，y=-kx2-x 4、已知一次函数 y = ax + c 与二次函数 y = ax2 + bx + c，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）.(A) (B) (C) (D)【八】二次函数的平移 1、可先求出抛物线顶点，再将顶点平移后得到新函数的顶点坐标，通过其确定新函数的解析式；2、 也可以直接根据解析式平移，平移方法如下： 典型例题：作者：王新民 tyxm_例、二次函数的图象，可由的图象A向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到练习：作者：王新民 tyxm_1、将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线，其解析式是（ ）（A） （B） （C） （D）2、抛物线可由抛物线向_平移_个单位，再向_平移_个单位而得到3、将二次函数 y = - x2 + 2x + 3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为 . 4、将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为5、已知的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）A B C D6.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。7、抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到。8、如图，抛物线y1x22向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：(1)抛物线y2的顶点坐标_；(2)阴影部分的面积S_；【九】会用待定系数法求二次函数的解析式1、待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：“设-列-解-答”设：根据条件，设出相应函数的待定解析式；列：代入数据，列出关于待定系数的方程组；解：解方程组，求出待定系数的值；答：将求出的值带入所设的解析方程，即为所求。2、二次函数的三种解析式以及求二次函数的一般方法：一般式：，对称轴为，顶点为（）； 条件：已知图像上三点或三组（、）的值，通常选择一般式，即列关于a、b、c的三元一次方程组解决.顶点式：，其中对称轴为，顶点坐标为（h,k）条件：已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.交点式（两根式）：,其中是抛物线与轴的两个交点；条件：已知图像与轴的交点横坐标、，通常选用交点式，只需求待定系数。 根据条件灵活地选择函数的解析式典型例题例1、已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式.练一练：求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式例2、已知抛物线的顶点为，与轴交点为，求此抛物线的解析式.练一练：已知二次函数，当x4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式例3、已知抛物线与轴交于，并经过点，求抛物线的解析式.练一练：已知抛物线与x轴两交点的横坐标是1，3，与y轴交点的纵坐标是，确定抛物线的解析式.基础练习题：1、二次函数 y = ax2 + bx+ c的图象的顶点A 的坐标为 ( 1, - 3 )，且经过点 B ( -1, 5 )，则设 y = , 得方程为 ，解得 ，此函数解析式为 . 2、二次函数 y = ax2 + bx + c的图象与 x 轴交于点A ( - 3, 0 )，对称轴x = -1，顶点C到x轴的距离为2，则设 y = , 得方程为 ，解得 ，此函数解析式为 . 3、已知抛物线过点（-1，0）、（3，0）、（2，5），则设 y = , 得方程为 ，解得 ，此函数解析式为 。4、抛物线经过(1,3).(0,-2)和(-2,4),则抛物线的解析式为 . 综合练习题：1、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点.（1）观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。2、已知二次函数的图像经过(0,3),且顶点坐标为（1，-4）。（1）求这个函数关系式；（2）当x 为何值时,函数值为0?当x为何值时,函数值y随着x的增大而增大?当x 为何值时,y 随 x的增大而减小?xyO3911AB图1 13、如图1，已知二次函数的图像经过点A和点B（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标【九】直线与抛物线的交点（1）抛物线与轴（或平行于轴的直线）的交点该交点是由所得，且只有一个(,).特别地，当x=0时，交点为(0, ).（2）抛物线与轴（或平行于轴的直线）的交点由方程组所得，故交点的横坐标是方程的解；交点的个数受方程根的判别式决定，即：抛物线与轴相交有两个交点（x1、k）（x2、k）；抛物线与轴相切有一个交点（x、k）（即顶点在上）；抛物线与轴相离没有交点.特别地，当时，即表示为与x轴的交点。二次函数，当时,得到一元二次方程，即一元二次方程是二次函数的一种特殊形式1、已知函数解析式，求点的问题，可用方程或方程组解决（代入法）。2、已知点的坐标，求函数解析式中待定系数的问题，也可用方程思想解决。一次函数的图像与二次函数的图像的交点由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.（5）抛物线与轴两交点之间的距离：若与轴的两交点为，由于、是方程的两根，故：所以：例1已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点为A（2，0）.（1）求b、c的值；（2）