函数单调性的判断和证明.ppt

函数单调性习题课 约3课时 函数单调性的判断和证明 用定义证明函数的单调性的步骤 1 设x1 x2 并是某个区间上任意二值 2 作差f x1 f x2 3 判断f x1 f x2 的符号 4 作结论 分解因式 得出因式 x1 x2 配成非负实数和 方法小结 有理化 例2 证明函数f x x3在R上是增函数 证明 设x1 x2是R上任意两个实数 且x10所以f x1 f x2 0即f x1 f x2 所以f x x3在R上是增函数 单调函数的运算性质 若函数f x g x 在区间D上具有单调性则在区间D上具有以下性质 1 2 3 4 5 函数单调区间的求法例4求函数f x x k 0 在x 0上的单调性 解 对于x2 x1 0 f x2 f x1 x2 x1 x1x2 k 因 0 X12 k x1x2 k x22 k 故x22 k 0即x2 时 f x2 f x1 同理x1 时 f x2 f x1 总之 f x 的增区间是 减区间是 用定义求函数单调区间的步骤 1 设x1 x2 并是定义域上任意二值 2 作差f x1 f x2 方法小结 点评 单调区间的求法1 定义法2 图像法 点评 1 定义法2 图像法 含参数函数的单调性的判断 抽象函数单调性的判断 小结 同增异减 研究函数的单调性 首先考虑函数的定义域 要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间 三 复合函数单调性 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 减函数 小结 在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间 分段函数的单调性 例10 已知函数 1 当a 0 b 2时 求f g x 和g f x 的解析式 并判断哪一个函数在其定义域上单调 2 当a b满足什么条件时 f g x 在定义域上单调 点评 分段函数的单调性 首先判断各段函数的单调性 若每段函数的单调性一致 再判断分界点处函数值的大小关系 符合单调性的定义 则在整个定义域上是单调函数 函数的单调性的应用 1 比较数 式 的大小2 解函数不等式3求参数的取值范围4 求函数值域 最值 题型一 比较大小 例1 函数f x 在 0 上是减函数 求f a2 a 1 与f 的大小 解 因为f x 在 0 是减函数 因为a2 a 1 a 2 0 所以f a2 a 1 f 解 1 1 2 2 3 1 2 3 1 4 当a 0时 b 0或当a2时 最大值为 1 最小值为3 4a 题型二 解不等式 例2 解 因为函数f x 在定义域上是增函数 1 已知函数是定义在上的增函数且 解不等式 2 已知为上的减函数 则满足的实数的取值范围是 A B C D 练习 题型三 求参数范围 例3 f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减函数 求a的取值范围 解 函数f x 图象的对称轴为x 1 a 当x1 a时 函数单调递减 已知函数在上是减函数 所以41 a 即 3a 练习 1 已知函数在区间上是减函数 则实数的取值范围是 A B C D 2 已知在上是增函数 求实数a的取值范围 3 已知函数在上是增函数 求实数的取值范围 四 利用函数单调性确定函数的值域或最值 1 求二次函数上的最值 2 函数在区间 2 4 上的最大值为最小值为 3 已知函数 若有最小值 2 则的最大值为 4 若函数在上为增函数 则实数的范围是 5 求在区间上的最大值和最小值 1 函数最大 小 值首先应该是某一个函数值 即存在 使得 2 函数最大 小 值应该是所有函数值中最大 小 的 即对于任意的x I 都有f x M f x M 3 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递增 则函数y f x 在x a处有最小值f a