“切割线定理”的探究性教学.docx

“切割线定理”定理的探究性教学 陈冬初 （浙江宁海梅林中学 315609）“切割线定理”这节课安排在“相交弦定理”之后，其前面还有一个“切线长定理”。如何探索这些定理之间的内在联系？笔者在教案设计上对现有教材做了一些变动和拓展，力求体现数学知识真实和生动的背景、情景及发生过程，激发学生亲身体验、主动探究、发现规律，培养学生的创新能力。在实际教学中，笔者抓住“有公共端点的两条割线可由相交弦演变得到”这一点，通过图形变换，利用类比、变式等方法，设计出具有探究性的问题系列。1、 设计知识“最近发展区”，观察联想引出猜想CAI课件：如图1，演示圆内相交弦AB,CD的交点P沿DC方向运动至DC延长线上的情景（为简单起见，运动时B,C,D三点均不动，仅A点在圆周上移动，如图1师:出示图1（1）：相交弦定理内容怎样？联系图1（1）用数学语言表示生1：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等，用式子表示：PAPB=PCPD师:数学中的很多图形及性质都是有其内在联系的，（演示动画），如动画所示，有公共端点的两条割线就可看作是由两条相交弦的交点P沿DC方向运动至DC延长线上的结果，请观察图形的演变过程，类比“相交弦定理”，你能猜出演变后图形有什么性质吗？请小范围讨论一下生2：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点之间的两条线段长的积相等。联系图1（5），就是：PAPB=PCPD师:你能讲一讲，你是怎样想到的吗？生2：因为相交弦定理就是P点到每条弦与圆的两个交点的线段的积相等，现在P运动至圆外，我想这个关系还应该成立。师:能想到这一点，很好！不过，这还只是我们的一个猜想。事实上，数学上得很多发现都是先有猜想，然后通过验证得到的，今天，我们来学习：（板书课题）切割线定理点评：上述方法改变了课本直接给出命题的做法，在复习相交弦定理的基础上，通过图像的动态演变，将知识进行拓展，让学生得出合理猜想。这符合知识“最近发展区”的主动建构过程，也是学生享受了亲身体验参与探究的愉悦。2、 设置探究性问题，提示化归过程怎样才能说明我们的猜想是否正确？学生(众）：证明。师：要证明这个命题，首先要将该命题用正确的数学语言表述出来，怎样表述？生3：（板演)已知：O中，割线PA、PB分别与O交与A、C两点，求证： PAPB=PCPD师：请回顾一下，证明相交弦定理时添了怎样的辅助线？用什么方法证明？生4：如图1（1）连结BC、AD，证明APCDPB生5：如图1（1）可连接BD、AC，证明BDPCAP师：类比相交弦定理的证明思路，你能想出该命题证明的方法吗？生6：连结BC、DA,证明BCPDAP，或连结BD、AC，证明BPDCPA师：很好！其实这两种证明思路也可以从结论为 PAPB=PCPD想到，请同学选择一种方法，写出详细的证明过程。点评：先将发现的命题数学化，再用类比的方法发现证明的思路，这样的做法突出了探究、转化、反思及创新过程，也符合学生的认知规律。3、 拓展定理内容，探索知识规律SAI课件：如图2，（演示两割线先后变成切线的过程）师：从图2（1）到图2（3），割线定理将发生怎样的变化？请你解释一下：生7：由于此时PD=PC割线定理变为PC=PAPB师：完全正确。这是反映有公共点的切线与割线间的关系定理，称切割线定理（板书定理内容），那么，当变化成图2（2)时，你有什么发现？生8：这是割线定理变成PA=PB,PA=PB,这就是切线长定理了。师：好，我们终于发现了相交弦定理、切割线定理、切线长定理的内在联系了，这对于我们的理解和记忆非常有益。下面我们尝试运用新知识来解决一些问题。点评：根据图形的动态变化，利用相交弦定理的内容进行拓展，把“直线和圆”一节的四个重要定理串在一起，揭示了知识的内在规律，使学生对知识的认识又进了一层，有了“原来如此”的感悟。这有利于培养学生将知识系统，探究知识规律。4、 运用新知识，体验成功喜悦书本例2：如图3，A是O上的一个点，过点A的切线交直径CB的延长线于点P,ADBC，D为垂足，求证： 师：根据结论的形式特点，你有怎样的证明思路？生9：证明四条线段所在的两个三角形相似。生10：不可能，应为四线段在同一条直线上。师：对要仔细观察四线段是否在两三角形内，并且这两三角形是否相似。那么。是否有别的办法呢？生11：先将比例式化成等积式PBPC=PDPO，由切割线定理知PBPC=PA，故只须证明PA=PDPO即可。师：好极了！只有熟悉切割线定理的人才能想到这一点，接下去的问题谁能解决？生12：创建包含这四条线段的两个三角形，证明它们相似师：具体说说如何实施生12：:连接OA,证明PADPOA师：好！非常好！接下去的问题同学们思考一下，如果将PBC换成一般割线，圆心O换成为O，如图4（1），那么，要使 成立，O应满足怎样的条件？生13:O须在AO或AO的延长线上，因为这时OAOA,PADPOA师：完全正确，你已经搞清了问题的本质。那么，O能否运动至圆上甚至圆外？S14：能运动至圆上（图4（2），这时=1 ，也可以运动至圆外（图4（3），只要PBC仍是割线（至少是切线），结论都成立。点评：改变