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2 3 2平面向量的坐标运算 复习平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线的向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 1 2使得 不共线的两向量叫做这一平面内所有向量的一组基底 什么叫平面的一组基底 平面的基底有多少组 无数组 引入 1 平面内建立了直角坐标系 点A可以用什么来表示 2 平面向量是否也有类似的表示呢 A a b a b 其中x叫做在x轴上的坐标 y叫做在y轴上的坐标 1 取基底 与x轴方向 y轴方向相同的两个单位向量作为基底 上式叫做向量的坐标表示 注 每个向量都有唯一的坐标 一 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内 我们分别 a y j i O 图1 x xi yj 其中i j为向量i j 例1 如图 已知O是坐标原点 点A在第一象限 A 由唯一确定 2 点A的坐标与向量的坐标的关系 两者相同 概念理解 3 两个向量相等的充要条件 利用坐标如何表示 二 平面向量的坐标运算 例2 用基底分别表示向量并求出它们的坐标 4 3 2 11234 A B 1 2 2 1 x y 4 5 3 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差 1 已知求 即 同理可得 解 二 平面向量的坐标运算 解 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标 二 平面向量的坐标运算 思考 若向量a x y 则 a 如何计算 若点A x1 y1 B x2 y2 则如何计算 例2 已知 2 1 3 4 求 的坐标 2 1 3 4 5 3 3 2 1 4 3 4 6 3 12 16 6 19 二 平面向量的坐标运算 例3 已知平行四边形ABCD的三个顶点A B C的坐标分别为 2 1 1 3 3 4 求顶点D的坐标 解 设顶点D的坐标为 x y 二 平面向量的坐标运算 例4 已知平面上三点的坐标分别为A 2 1 B 1 3 C 3 4 求点D的坐标使这四点构成的四边形为平行四边形 A B C 解 当平行四边形为ADCB时 由得D1 2 2 当平行四边形为ACDB时 得D2 4 6 当平行四边形为DACB时 得D3 6 0 二 平面向量的坐标运算 解 由题设 得 3 4 2 5 x y 0 0 即 例6 在直角坐标系xOy中 已知点A x1 y1 B x2 y2 求线段AB中点的坐标 解 设M x y 是线段AB的中点 则 例6得到的公式 叫做线段中点的坐标公式 简称中点公式 课堂总结 1 向量的坐标的概念 2 对向量坐标表示的理解 3 平面向量的坐标运算 1 任一平面向量都有唯一的坐标 2 向量的坐标与其起点 终点坐标
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