数列通项与求和讲义.doc

他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航数列通项与求和讲义一、关于数列求通项 的求法1、公式法应用等差、等比数列的通项公式求得数列的通项公式略2、由推导已知求的方法是，然后验证n=1时通项公式是否成立，如果成立，则通项公式可写为；如果不成立，则其通项公式只能用分段函数来表示。例1（1）数列的前n项和，求（2）数列的前n项和，求3、迭代法对形如型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使与初始值建立联系的方法就是迭代法。例2 在数列中， ，求数列的通项公式.4、辅助数列法已知递推关系求an，用构造法(构造等差、等比数列).形如ankan1b，ankan1bn(k，b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an. 形如an的递推数列都可以用倒数法求通项.例3 (1)在数列(不是常数数列)中,且，求数列的通项公式. (2) 已知a11，an，则an的通项公式.变式3-1 已知数列为无穷数列，若，且，求通项。变式3-2 数列中，求通项变式3-3 已知，求.5、累加法对形如型的递推公式求通项公式（1）当为常数时，为等差数列。则 （2）当为n的函数时，用叠加法。（3）已知，其中可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项。若是关于n的一次函数，叠加后可转化成等差数列求和；若是关于n的二次函数，叠加后可分组求和；若是关于n的指数函数，叠加后转化成等比数列求和；若是关于n的分式函数，叠加后可裂项求和。例4 已知数列满足，求数列的通项公式.变式4-1 数列中，求通项变式4-2 如已知数列an满足a11，anan1(n2)，则an6、累乘法对于形如型的递推公式求通项公式（1）当为常数时，此时数列为等比数列； （2）当为n的函数时，用累乘法。例5 数列的前n项和为，且，求数列的通项公式.变式5-1数列中，求通项。变式5-2 如数列an中，a11，对所有的n2都有a1a2a3ann2，求通项二、关于数列求和 的方法、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 公式法是数列求和的最常用的方法之一，可直接利用等差或等比数列的求和公式，也可利用常见的求前n项和的公式，如：1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 （正整数求和） 4、（平方和） 求它的前n项的和Sn。5、 （立方和）、错位相减法（乘公比）如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成，则求此数列的前n项和时一般采用（乘公比）错位相减法。若公比是字母，须对其进行讨论。例1. 已知数列：1，求它的前n项的和Sn、倒序相加法当把一个数列倒过来排序，与原数列对应的项相加后有公因式可提，且余下的项容易求和，这时一般可用倒序相加法求其前n项和。 等差数列求和公式推导就用的倒序相加法。把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广），称之为倒序相加法例3如已知f(x)，则f(1)f(2)f(3)f(4)f()f()f().、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） （2）（3） （4）例3. 求Sn1变式3-1 在数列中，又，求数列的前n项和。变式3-2 数列an的通项公式是an，若前n项之和为10，则项数n为（ ） A11 B99 C120 D121、拆项（分组）求和法有些数列，通过适当的拆项或分组后，可得到几个等差或等比数列，这样就可利用公式法进一步求和了。所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。例4 数列an的前n项和，数列bn满 . 求bn的前n项和。变式训练4-1 数列前n项的和为