连续系统的时域分析.ppt

2 1引言 2 2连续时间系统的描述及响应 2 3零输入响应和零状态响应 2 4冲激响应和阶跃响应 2 5卷积积分及其应用 2 6单位冲激响应表示的系统特性 第二章连续系统的时域分析 一 基本内容 LTI连续系统的各种响应 卷积积分 二 重点 响应的划分 卷积的性质 三 难点 2 1引言 本章主要讨论利用输入输出法进行连续时间线性时不变系统的时域分析 系统的时域分析法包括经典法和双零法 经典法 即利用高等数学中微分方程的理论求解动态方程 得到系统响应的函数表达式 双零法 即将系统响应分为零输入响应和零状态响应 响应及其各阶导数 最高阶为n次 一 微分方程的经典解 1 描述LTI系统其激励x t 与响应y t 的关系可用下述n阶常系数线性微分方程来表示 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmx m t bm 1x m 1 t b1x 1 t b0 x t 2 2LTI连续系统的响应 激励及其各阶导数 最高阶为m次 微分方程的经典解 y t 完全解 yh t 齐次解 yp t 特解 2 2LTI连续系统的响应 1 齐次解是齐次微分方程y n an 1y n 1 a1y 1 t a0y t 0的解 表2 1不同特征根所对应的齐次解 2 2LTI连续系统的响应 P36表2 1给出了不同特征根所对应的齐次解 齐次解的函数形式由上述微分方程的特征根确定 为微分方程的特征方程 2 特解 激励x t 响应y t 的特解yp t 特解的函数形式与激励函数的形式有关 P37表2 2给出了不同激励所对应的特解 2 2LTI连续系统的响应 3 完全解 求得系统微分方程的齐次解和特解后 将齐次解和特解相加即可得到系统微分方程的完全解 2 2LTI连续系统的响应 微分方程的经典解 y t 完全解 yh t 齐次解 yp t 特解 下面通过例题说明经典法求解的全部过程 例2 1 描述某系统的微分方程为求 1 当时的全解 2 当时的全解 2 2LTI连续系统的响应 解 1 特征方程为 2 5 6 0其特征根 1 2 2 3 齐次解为yh t A1e 2t A2e 3t 查表2 2可知 当x t 2e t时 其特解可设为yp t Be t将其代入微分方程得Be t 5 Be t 6Be t 2e t解得B 1于是特解为yp t e t全解为 y t yh t yp t A1e 2t A2e 3t e t其中待定常数A1 A2由初始条件确定 y 0 A1 A2 1 2 y 0 2A1 3A2 1 1解得A1 3 A2 2最后得完全解y t 3e 2t 2e 3t e t t 0 2 2LTI连续系统的响应 齐次解的函数形式与激励x t 的函数形式无关 仅与系统本身的特性有关 称为系统的固有响应或自由响应 特解的函数形式由激励确定 称为强迫响应 y t 3e 2t 2e 3t e t t 0 齐次解 特解 自由响应 强迫响应 2 2LTI连续系统的响应 自由响应和强迫响应 2 齐次解同 1 因激励x t 10cost 由表2 2知 其特解为yp t Pcost Qsint其一 二阶导数分别为y p t Psint Qcosty p t Pcost Qsint代入微分方程可得 P 5Q 6P cost Q 5P 6Q sint 10cost因上式对所有的t 0成立 故5P 5Q 10 5P 5Q 0可解得P Q 1 得特解为 2 2LTI连续系统的响应 方程的完全解为 其一阶导数为 令t 0 并代入初始条件得y 0 C1 C2 1 2y 0 2C1 3C2 1 0 可解得C1 2 C2 1 系统的全响应为 2 2LTI连续系统的响应 当输入信号是阶跃函数或有始的周期函数时 稳定系统的全响应也可分解为瞬态响应和稳态响应 瞬态响应是指激励接入以后 全响应中暂时出现的分量 随着时间的增长 它将消失 如果系统微分方程的特征根 i的实部均为负 那么 由全响应中除去瞬态响应就是稳态响应 它通常也是由阶跃函数或周期函数组成 自由响应 强迫响应 瞬态响应 稳态响应 小结 2 2LTI连续系统的响应 1 t 0 与t 0 的概念 认为换路在t 0时刻进行 0 换路前一瞬间 0 换路后一瞬间 初始条件为t 0 时u i及其各阶导数的值 0 0 二 初始条件的确定 即输入x t 是在t 0时接入系统 这样系统的响应区间为 则确定待定系数Ak时用t 0 时刻的初始条件 即y k 0 k 0 1 2 n 1 2 2LTI连续系统的响应 而y k 0 包含了输入信号的作用 不便于描述系统的历史信息 在t 0 时 激励尚未接入 该时刻的值y k 0 反映了系统的历史情况而与激励无关 称这些值为起始状态或起始值 通常 对于具体的系统 起始状态一般容易求得 这样为求解微分方程 就需要从已知的起始状态y k 0 设法求得y k 0 受激励的影响 系统状态从到可能发生变化 导致不等于的现象 起始点跳变的产生 对电容而言 由伏安关系 2 起始点跳变的产生 2 2LTI连续系统的响应 令 可得 如果为有限值 则 此时 如果 则 此时 2 2LTI连续系统的响应 由上面的分析可以知道 当没有受到冲激电流 或阶跃电压 作用时 电容两端的电压不发生跳变 即满足换路定则 当受到冲激电流 或阶跃电压 作用时 电容两端的电压会发生跳变 同样可以推导 对电感而言 当电感没有受到冲激电压 或阶跃电流 作用时 流过电感的电流不跳变 即满足换路定则 当电感受到冲激电压 或阶跃电流 作用时 流过电感的电流会发生跳变 2 2LTI连续系统的响应 3 初始条件的确定 这里我们介绍用冲激函数匹配法来确定状态的值 它的基本原理根据时刻微分方程左右两端的及其各阶导数应该平衡相等 2 2LTI连续系统的响应 例2 2 如果描述系统的微分方程为 给定状态起始值为 确定它的状态 解 由微分方程可知 方程右端含 为使方程平衡 等式左端也应有对应的函数 而且也只能出现在最高阶项 因此可以设 2 2LTI连续系统的响应 将上式从到积分一次 可得 把上面两个式子代入原方程得 根据方程两端对应项系数相等 可以得到 所以有 因此 2 2LTI连续系统的响应 例2 3 用冲激函数匹配法求解系统完全响应 系统方程为 假设电路中在时刻由2V跳变到4V 且 解 1 求齐次解 系统的特征方程为 特征根为 则所对应的齐次解为 2 2LTI连续系统的响应 2 求特解 当时 微分方程为 设特解为 代入上式 可得 则系统的完全响应为 2 2LTI连续系统的响应 3 求初始条件 根据给定的 考虑到在换路过程中的变化 在时刻由2V跳变到4V 代入题中方程中 得到时的微分方程为 由于微分方程右端的冲激函数项最高阶次是 因而可设 代入上式得 2 2LTI连续系统的响应 根据方程两端对应项系数相等 可以得到 因而有 则所求的初始条件即状态为 2 2LTI连续系统的响应 4 求全响应 当时 将上面所求的初始值和代入完全解表达式 可得 解得待定系数为 将待定系数代入完全解表达式 得系统的完全响应为 2 2LTI连续系统的响应 2 3零输入响应和零状态响应 一 零输入响应 零输入响应是指输入为零 亦即没有外加激励信号的作用 只由起始状态 起始时刻系统的储能 所引起的响应 一般用表示 零输入响应满足的微分方程为 由于输入为零 系统在起始时刻不会产生跳变 故初始条件 2 3零输入响应和零状态响应 例2 4 描述某系统的微分方程为 解 1 零输入响应yzi t 满足 2 3零输入响应和零状态响应 解得 代入初始条件 已知 1 求该系统的零输入响应 系统的特征方程为 特征根为 二 零状态响应 零状态响应是系统的起始状态为零时 仅由外加激励信号x t 作用而引起的响应 用yzs t 表示 即起始状态 对于零状态响应 就是微分方程式在系统的初始储能为零时的解 2 3零输入响应和零状态响应 例2 4 描述某系统的微分方程为 2 求该系统的零状态响应 2 3零输入响应和零状态响应 已知 解 因为 所以系统的零状态响应是微分方程 满足的解 1 求齐次解 求解 2 零状态响应yzs t 2 求特解 当时 微分方程为 设特解为 代入上式 可得 则 系统的零状态响应为 2 3零输入响应和零状态响应 3 求初始条件 根据冲激函数匹配法可设 代入 式 令时 易得 故其初始条件为 2 3零输入响应和零状态响应 4 求零状态响应 将上面所求的初始值和代入零状态响应表达式中 解得待定系数为 将待定系数代入零状态响应表达式 得到系统的零状态响应为 2 3零输入响应和零状态响应 三 全响应 如果系统的初始状态不为零 在激励x t 的作用下 LTI系统的响应称为全响应 它是零输入响应与零状态响应之和 即 其各阶导数为 上式对t 0 也成立 故有 y t yzi t yzs t 2 3零输入响应和零状态响应 例2 4 描述某系统的微分方程为 解 3 求该系统的全响应 2 3零输入响应和零状态响应 已知 求该系统的零输入响应 零状态响应和全响应 3 全响应y t y t yzi t yzs t 4e t 2e 2t 4e t e 2t 3 t 0 e 2t 3 t 0 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应 自由响应 强迫响应 2 3零输入响应和零状态响应 稳态响应 瞬态响应 则可得系统全响应的表达式如下 在零状态响应中 由于存在外加激励的作用 此时 所以零状态响应表达式中的待定系数由跳变量和外加激励共同来确定 零输入响应 零状态响应 自由响应 强迫响应 自由响应 强迫响应 2 4冲激响应和阶跃响应 一 冲激响应 以单位冲激信号 t 作为激励 系统产生的零状态响应称为单位冲激响应 简称冲激响应 记为h t h t T 0 t 对于连续时间LTI系统 其冲激响应是微分方程 满足的解 求解系统的冲激响应可分为两步进行 选新变量h1 t 使它满足 并求出其冲激响应h1 t 根据LTI系统零状态响应的线性性质和微分特性 可得其冲激响应为 2 4冲激响应和阶跃响应 已知某连续时间LTI系统的微分方程为 试求系统的冲激响应 解 当 系统的响应即为 此时原微分方程式为 2 4冲激响应和阶跃响应 求其特征根为 于是有 由题可知系统的初始条件为 将其代入的表达式解得 所以 先求解 方法 系统特性法 系统特性法的基本做法是先求解右边激励项为时的单位冲激响应 再利用系统的线性时不变性求解所求激励的冲激响应 令所给微分方程式右边为 即 根据系统的线性 其冲激响应为 二 阶跃响应 以单位冲激信号u t 作为激励 系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 记为g t g t T 0 u t 2 4冲激响应和阶跃响应 对于连续时间LTI系统 其冲激响应是微分方程 满足的解 已知某连续时间LTI系统的微分方程为 试求系统的阶跃响应 解 当 原微分方程式变为 求其特征根为 方程解的形式为 当时 将特解代入式 1 中 可得 1 对逐次求导得到 将 代入微分方程 利用奇异函数平衡的原则可得 于是 阶跃响应为 2 4冲激响应和阶跃响应 三 阶跃响应与冲激响应的微积分关系 根据LTI系统微分特性 则 故求系统的阶跃响应可以转化为求系统的冲激响应 g t 求解方法 通过 求解 2 4冲激响应和阶跃响应 2 5卷积积分及其应用 一 卷积积分 1 信号的时域分解 2 5卷积积分及其应用 2 任意激励信号作用下的零状态响应 根据h t 的定义 t h t 由时不变性 t h t x t 由齐次性 x h t 由叠加性 x t yzs t 卷积积分 2 5卷积积分及其应用 实际应用 以冲激励信号作为基本信号 先将激励信号分解为冲激信号之和 只需求解冲激信号通过该系统产生的冲激响应h t 然后利用线性时不变系统的特性 进行迭加和延时即可求解任意激励信号x t 产生的零状态响应 2 5卷积积分及其应用 3 卷积积分的定义 已知定义在区间 上的两个函数x1 t 和x2 t 则定义积分 为x1 t 与x2 t 的卷积积分 简称卷积 记为x t x1 t x2 t 注意 积分是在虚设的变量 下进行的 为积分变量 t为参变量 结果仍为t的函数 2 5卷积积分及其应用 二 卷积的图解 卷积过程可分解为四步 1 换元 t换为 得x1 x2 2 反转平移 由x2 反转 x2 平移t x2 t 3 乘积 x1 x2 t 4 积分 从 到 对乘积项积分 注意 t为参变量 下面举例说明 一般选比较简单函数进行反转和平移 2 5卷积积分及其应用 例 f t h t 如图 求yzs t h t f t 解 采用图形卷积 f t f 反折 f 平移t t 0时 f t 向左移 f t h 0 故yzs t 0 0 t 1时 f t 向右移 1 t 2时 3 t时 f t h 0 故yzs t 0 2 t 3时 0 2 5卷积积分及其应用 图解法一般比较繁琐 但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的 确定积分的上下限是关键 例 f1 t f2 t 如图所示 已知f t f2 t f1 t 求f 2 f1 f1 2 解 1 换元 2 f1 得f1 3 f1 右移2得f1 2 4 f1 2 乘f2 5 积分 得f 2 0 2 5卷积积分及其应用 三 卷积的性质 1 卷积的代数特性 1 交换律 所谓卷积的交换律是指 两个函数的卷积积分与参加运算的两个函数的次序无关 即 证明根据卷积的定义 2 5卷积积分及其应用 交换律用于系统分析 反映了冲激响应分别为和的两个系统级联与其顺序无关 如下图所示 2 5卷积积分及其应用 2 结合律 2 5卷积积分及其应用 推导 2 5卷积积分及其应用 卷积结合律的物理含义是 两个系统级联时 总系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积积分 即 且和级联次序无关 3 分配律 证明 2 5卷积积分及其应用 2 5卷积积分及其应用 卷积分配律的物理含义是 分配律用于系统分析 并联系统的冲激响应等于组成并联系统的各子系统冲激响应之和 即 例 已知某LTI系统如图所示 已知h1 t u t h2 t t 1 h3 t e 3 t 2 u t 2 试求该系统的冲激响应h t 解 2 5卷积积分及其应用 2 奇异函数或的卷积特性 1 与的卷积 证明 2 与的卷积 证明 2 5卷积积分及其应用 结论 位于t t1处的冲激函数与函数f t 的卷积 相当于将信号f t 搬移 到t t1处 即只是使f t 在时间上延迟了t1 而波形不变 称为延时特性或重现特性 2 5卷积积分及其应用 推广 f t t1 t t2 f t t1 t2 2 5卷积积分及其应用 3 与的卷积 证明 若系统的冲激响应为 如图 则该系统是一个微分器 推广到阶微分系统有 2 5卷积积分及其应用 4 与的卷积 证明 同理 若系统的冲激响应为 如图 则该系统是一个积分器 特例 u t u t u 1 t tu t 2 5卷积积分及其应用 3 卷积的时移特性 设 则有 证明 同理 2 5卷积积分及其应用 卷积的时移特性的图解表示如下图所示 2 5卷积积分及其应用 例 x1 t x2 t 如图 求x1 t x2 t 解 x1 t 2u t 2u t 1 x2 t u t 1 u t 1 x1 t x2 t 2u t u t 1 2u t u t 1 2u t 1 u t 1 2u t 1 u t 1 由于u t u t tu t 据时移特性 有x1 t x2 t 2 t 1 u t 1 2 t 1 u t 1 2tu t 2 t 2 u t 2 2 5卷积积分及其应用 4 卷积的微分与积分特性 1 卷积的微分特性 证 上式 1 t x1 t x2 t 1 t x1 t x2 t x1 1 t x2 t 2 5卷积积分及其应用 两个信号卷积的微分等于其中一个信号的微分与另一个信号的卷积 即 2 5卷积积分及其应用 2 卷积的积分特性 假设 则有 证明 两个信号卷积的积分等于其中一个信号的积分与另一个信号的卷积 即 3 卷积的微积分特性 两个信号卷积等于其中一个信号的微分与另一个信号的积分的卷积 即在x1 x2 0的前提下 当 若则有 证明 2 5卷积积分及其应用 推广 卷积的高阶导数和多重积分的运算规则 2 5卷积积分及其应用 已知 求 注意 套用卷积分的微积分特性 可得 这显然是错误的 运用卷积分的微积分特性的前提是 而本题显然不满足 特别注意 解 2 5卷积积分及其应用 例 x1 t 如图 x2 t e tu t 求x1 t x2 t 解 x1 t x2 t x1 t x2 1 t x1 t t t 2 x1 t x2 t 1 e t u t 1 e t 2 u t 2 2 5卷积积分及其应用 例 求图中函数f1 t 与f2 t 的卷积 当直接求函数f1 t 与f2 t 的卷积比较难求时 根据微积分特性 并利用函数与冲激函数的卷积将比较简便 2 5卷积积分及其应用 2 5卷积积分及其应用 5 杜阿密尔积分 上式称为杜阿密尔积分 它表示LTI系统的零状态响应等于激励的导数与系统的阶跃响应的卷积积分 其物理含义是 把激励x t 分解成一系列接入时间不同 幅值不同的阶跃函数 根据LTI系统的零状态线性和时不变性 在激励x t 作用下 系统的零状态响应等于相应的一系列阶跃响应的积分 LTI系统的零状态响应等于激励与系统冲激响应的卷积积分 则有 2 5卷积积分及其应用 求卷积是本章的重点与难点 求解卷积的方法可归纳为 1 利用定义式 直接进行积分 对于容易求积分的函数比较有效 如指数函数 多项式函数等 2 图解法 特别适用于求某时刻点上的卷积值 3 利用性质 比较灵活 三者常常结合起来使用 2 5卷积积分及其应用 例 求卷积积分 1 u t u t 2 3e 2tu t 2u t 3 3e 2tu t 2u t 2 解 1 u t u t 2 3e 2tu t 2u t 2 5卷积积分及其应用 3 3e 2tu t 2u t 2 思考题 e 3 t 1 u t 1 e 5 t 2 u t 2 解 2 5卷积积分及其应用 解 例 x t et t h t 6e 2t 1 u t 求yzs t t 2 5卷积积分及其应用 例题 电路图如下图所示 求该电路的单位冲激响应 若激励为 求响应 解 设此电路的电流为 易知 由题有 当时 冲激响应为 根据连续时间系统零状态响应的卷积法 当时 可得 2 5卷积积分及其应用 四 卷积法求零状态响应举例 2 6单位冲激响应表示的系统特性 由于单位冲激响应是自由响应 完全取决于系统的结构和参数 不同结构和参数的系统 将具有不同的冲激响应 因此冲激响应可以表征系统本身的特性 下面我们将通过系统的单位冲激响应来分析线性时不变系统的因果性和稳定性 1 系统的因果性 因果系统是指系统的输出仅决定于现在和过去时刻的系统输入值 系统的输出不超前于输入 连续系统为因果系统的充要条件是其单位冲激响应必须满足 此时 是一个因果信号 充分性证明 如果 有 则当 若 2 6单位冲激响应表示的系统特性 2 6单位冲激响应表示的系统特性 试考查系统的因果性 解 冲激响应为 当时 其为因果系统 系统为一延时器 当时 其为非因果系统 系统的输出超前输入 2 6单位冲激响应表示的系统特性 2 系统的稳定性 即若系统对所有的激励 x t M1 其零状态响应 yzs t M2 M1 M2为有限常数 则称该系统稳定 LTI连续系统是稳定系统的充要条件是 M为有限正实数 系统的冲激响应h t 绝对可积 定义 一个系统 若对任意的有界输入 其零状态响应也是有