高等数学-下(公式大整理).doc

高等数学（下）八、空间解析几何与向量代数8.1 向量及其线性运算1.向量概念2.向量的线性运算3.空间直角坐标系4.利用坐标作向量的线性运算5.向量的模、方向角、投影8.2 数量积、向量积1.两向量的数量积2.两向量的向量积8.3 曲面及其方程1.曲面方程的概念2.旋转曲面3.柱面4.二次曲面8.4 空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程2.空间曲线的参数方程3.空间曲线在坐标面上的投影8.5平面及其方程1.平面的点法式方程2.平面的一般式方程3.两平面的夹角8.6空间直线及其方程1.空间直线的一般式方程2.空间直线的对称式方程3.空间直线的参数方程4.两直线的夹角5.直线与平面的夹角九、多元函数微分法及其应用9.1 多元函数的基本概念1.平面点集2.多元函数概念3.多元函数的极限4.多元函数的连续性9.2 偏导数与全微分1.偏导数2.全微分9.3 多元复合函数的求导法则1.一元函数与多元函数复合2.多元函数与多元函数复合9.4 隐函数的求导公式1.一个方程的情形2.方程组的情形9.5 多元函数微分学的几何应用1.一元向量值函数及其导数2.空间曲线的切线与法平面3.曲面的切平面与法线9.6 方向导数与梯度1.方向导数2.梯度9.7 多元函数的极值与求法1.极值与最大值、最小值2.条件极值与拉格朗日乘数法十、重积分10.1 二重积分的概念与性质1.二重积分的概念2.二重积分的性质10.2 二重积分的计算法1.利用直角坐标来计算2.利用极坐标来计算10.3三重积分1.三重积分的定义2.三重积分的计算10.4 重积分的应用十一、曲线积分与曲面积分11.1 对弧长的曲线积分1.定义2.性质3.计算11.2 对坐标的曲线积分1.定义2.性质3.计算4.两类曲线积分之间的关系11.3 格林公式及其应用1.格林公式2.曲线积分与路径无关的条件3.二元函数的全微分求积11.4 对面积的曲面积分1.定义2.计算11.5 对坐标的曲面积分1.定义2.性质3.计算4.两类曲面积分之间的关系11.6 高斯公式与斯托克斯公式1.高斯公式2.斯托克斯公式十二、无穷级数12.1 常数项级数的概念和性质1.定义2.性质12.2 常数项级数的审敛法1.正项级数及其审敛法2.交错级数及其审敛法3.绝对收敛与条件收敛12.3 幂级数1.函数项级数的概念2.幂级数及其收敛性3.幂级数的运算12.4 函数展开成幂级数1.泰勒级数2.展开步骤3.间接展开法12.5傅里叶级数1.定义2.收敛定理3.傅里叶展开4.正弦级数和余弦级数八、空间解析几何与向量代数8.1 向量及其线性运算1.向量概念向量（矢量），向量相等，向量的模，单位向量，零向量，向量的夹角，向量平行（共线），向量共面2.向量的线性运算1）加减法（加）三角形法则，平行四边形法则，交换律，结合律，n个向量相加的法则，负向量；（减）向量的差2）向量与数的乘法结合律，分配律，向量平行的充要条件3.空间直角坐标系右手规则，坐标面，卦限，向量的坐标分解式，向径4.利用坐标作向量的线性运算，则 , 。5.向量的模、方向角、投影1）向量模的坐标表示式：2）两点间的距离公式：3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4）方向余弦：；5）在轴上的投影：，其中为向量与的夹角；投影的性质8.2 数量积、向量积1.两向量的数量积，是一个数量。向量垂直的充要条件；数量积的运算规律2.两向量的向量积（大小：；方向：符合右手规则）向量平行的充要条件；向量积的运算规律；向量积的坐标表示式（三阶行列式）：8.3 曲面及其方程1.曲面方程的概念 2.旋转曲面yOz坐标面上的曲线，绕y轴旋转一周所得曲面；绕z轴旋转一周所得曲面。3.柱面表示母线平行于z轴，准线为的柱面.4.二次曲面1）椭圆锥面： 2）椭球面：旋转椭球面： 3）单叶双曲面：4）双叶双曲面： 5）椭圆抛物面：6）双曲抛物面（马鞍面）： 7）椭圆柱面：8）双曲柱面： 9）抛物柱面：8.4 空间曲线及其方程1.空间曲线的一般方程2.空间曲线的参数方程，如螺旋线：3.空间曲线在坐标面上的投影，消去z，得到曲线在面xOy上的投影8.5平面及其方程1.平面的点法式方程 其中，法向量，过点2.平面的一般式方程(A,B,C)就是一个法向量的坐标。若D=0，则表示一个通过原点的平面。截距式方程：（a、b、c依次叫平面在x、y、z轴上的截距）3.两平面的夹角若两平面的法线向量分别为，则两平面的夹角的余弦为. 点到平面的距离：8.6空间直线及其方程1.空间直线的一般式方程2.空间直线的对称式方程即点向式方程：其中，方向向量，过点。3.空间直线的参数方程由直线的对称式方程可导出直线的参数方程：.4.两直线的夹角若两直线的方向向量分别为，则两向量的夹角的余弦为 5.直线与平面的夹角若直线的方向向量为（m,n,p），平面的法线向量为（A,B,C）,则直线与它在平面上的投影直线的夹角的正弦为. 九、多元函数微分法及其应用9.1 多元函数的基本概念1.平面点集平面点集，点的邻域；内点，外点，边界点，聚点；开集，闭集，连通集，开区域，闭区域，有界集，无界集。2.多元函数概念二元函数的图形是一张曲面。3.多元函数的极限二元函数的极限叫做二重极限，4.多元函数的连续性，间断点，性质9.2 偏导数与全微分1.偏导数1）定义：2）高阶偏导数2.全微分1）定义：2）全微分存在的必要条件与充分条件。9.3 多元复合函数的求导法则1.一元函数与多元函数复合 2.多元函数与多元函数复合9.4 隐函数的求导公式1.一个方程的情形2.方程组的情形9.5 多元函数微分学的几何应用1.一元向量值函数及其导数2.空间曲线的切线与法平面3.曲面的切平面与法线9.6 方向导数与梯度1.方向导数其中为的方向角。梯度：，则2.梯度9.7 多元函数的极值与求法1.极值与最大值、最小值（无条件极值）2.条件极值与拉格朗日乘数法求函数在条件下的极值：先作拉格朗日函数，解方程组 ，得到的（x,y）就是可能的极值点。十、重积分10.1 二重积分的概念与性质1.二重积分的概念定义：2.二重积分的性质（与定积分类似）10.2 二重积分的计算法1.利用直角坐标来计算1）几何意义：曲顶柱体的体积。2）直角坐标（1），（2），2.利用极坐标来计算 10.3三重积分1.三重积分的定义2.三重积分的计算1）直角坐标 -“先一后二” -“先二后一”2）柱面坐标，10.4 重积分的应用十一、曲线积分与曲面积分11.1 对弧长的曲线积分1.定义2.性质1） 2） 3）在上，若，则3.计算设在曲线弧上有定义且连续，的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则11.2 对坐标的曲线积分1.定义设 L 为xOy面内从 A 到B 的一条有向光滑弧，函数，在 L 上有界，定义，.向量形式：2.性质用表示的反向弧 , 则3.计算设在有向光滑弧上有定义且连续, 的参数方程为，其中在上具有一阶连续导数，且，则4.两类曲线积分之间的关系设平面有向曲线弧为，上点处的切向量的方向角为：，则.11.3 格林公式及其应用1.格林公式设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数在D 上具有连续一阶偏导数, 则有2.曲线积分与路径无关的条件为一个单连通区域，函数在上具有连续一阶偏导数，则曲线积分 在内与路径无关的充要条件是. （注意奇点）3.二元函数的全微分求积11.4 对面积的曲面积分1.定义设为光滑曲面，函数是定义在上的一个有界函数，定义 2.计算（一单二投三代入）曲面，则11.5 对坐标的曲面积分1.定义设为有向光滑曲面，函数是定义在上的有界函数，定义 同理，2.性质1），则2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则3.计算（一投二代三定号）4.两类曲面积分之间的关系其中为有向曲面在点处的法向量的方向角。11.6 高斯公式与斯托克斯公式1.高斯公式设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成, 的方向取外侧, 函数在上有连续的一阶偏导数, 则有2.斯托克斯公式设光滑曲面 S 的边界 G是分段光滑曲线, S 的侧与 G 的正向符合右手法则, 在包含 在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有为便于记忆, 用行列式记号把斯托克斯公式写成:十二、无穷级数12.1 常数项级数的概念和性质1.定义1）无穷级数：部分和：，2）级数收敛：若存在，则称级数收敛，否则称级数发散绝对收敛：收敛。2.性质1）若级数收敛于和s，则级数收敛收敛于和ks.2）若级数、分别收敛于和s1、s2，则收敛于和s1s2.3）在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。4）若级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。5）级数收敛的必要条件：级数收敛.（注意：不是充分条件！）12.2 常数项级数的审敛法1.正项级数及其审敛法1）正项级数（1）定义：，（2）正项级数收敛部分和数列有界；2）比较审敛法：，为正项级数，且 若收敛，则收敛；若发散，则发散.3）比较法的推论：、都是正项级数，若存在正整数， 当时，有，且收敛，那么收敛；有，且发散，那么发散. 4）比较法的极限形式：、都是正项级数，若，而收敛，则收敛；若或，而发散，则发散.5）比值审敛法（达朗贝尔判别法）：为正项级数，设，则当时，收敛；当时，发散；当时，可能收敛也可能发散.6）极限审敛法：设为正项级数，若或，则级数发散；若，而，则级数收敛.2.交错级数及其审敛法1）交错级数的定义：，2）莱布尼茨审敛法：若交错级数满足，且，则级数收敛。3.绝对收敛与条件收敛1）绝对收敛：若收敛，则称绝对收敛。2）条件收敛：若收敛，而发散，则称条件收敛。3）若绝对收敛，则必定收敛。12.3 幂级数1.函数项级数的概念函数项级数，收敛域，收敛半径，和函数；2.幂级数及其收敛性1)幂级数：2)如果幂级数不是仅在原点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必存在R，3）收敛半径的求法：，则收敛半径 3.幂级数的运算四则运算，幂级数的和函数的性质12.4 函数展开成幂级数1.泰勒级数 2.展开步骤（直接展开法）求出；求出；写出；验证是否成立。3.间接展开法（利用已知函数的展开式） 1）；2）；3）；4）；5）6）7）8）12.5傅里叶级数1.定