演示文稿1静电场.pptVIP

1 一个半径为R的球体内 分布着电荷体密度 kr 式中r是径向距离 k是常量 求空间的场强分布 并画出E r图 补充题 球内时 据高斯通量定理 得 解 R dr 球外时 O E r R 2 例 图为一球对称电荷分布的静电场的曲线 请指出它是下面哪一种带电体产生的 1 半径为R的均匀带电球面 2 半径为R的均匀带电球体 4 半径为R 电荷体密度 A为常数 的非均匀带电球体 3 半径为R 电荷体密度 A为常数 的非均匀带电球体 解 1 2 3 4 常数 3 半径为R的无限长圆柱体 柱内电荷体密度 ar br r为某点到圆柱轴线的距离 a b为常量 试求带电圆柱体内外电场分布 解 选取长为l 半径为r 与带电圆柱同轴的柱形高斯面S 2 补充题 R l r 因此可用高斯定理求解 由高斯定理可知 当r R时 高斯面S内所包围电荷的代数和为 代入 1 可得 当r R时 高斯面S内所包围电荷的代数和为 代入 1 可得 因为电荷相对轴线呈对称分布 所以距轴线为r的场点的场强数值相等 场强方向沿圆柱径向 S 4 实验发现 在地球大气层的一个广大区域中存在着电场 其方向是竖直向下的 在2 0 102米高度 场强为1 0 102伏特 米 而在3 0 102米高度 场强为0 60 102伏特 米 求从离地200米至300米之间大气中电荷的平均体密度 解 选取厚为h 半径为r的园柱形高斯面S 由高斯定理 得 h r E 补充题 5 补充题如图所示 一半径为R的半球面 其上均匀地带有正电荷 电荷面密度为 试求球心处的电场强度E 解 取坐标轴OX 将带电半球面分成许多宽度极窄的半径不同的带电圆环 其上任意一个圆环上的带电量为 为便于计算 可采用角量描述 因为 据带电圆环在轴线上一点的场强公式 可得该带电圆环在P点产生场强dE的大小为 注意 斜边 由于dq为正 故dE方向沿X轴正方向 将dq带入上式 可得 则整个半球面在球心P点处产生的场强的大小为 方向沿X轴正方向 6 补充题如图所示 一无限大均匀带电平面 电荷面密度为 其上挖去一半径为R的圆孔 通过圆孔中心O 并垂直于平面的X轴上有一点P OP x 试求P点处的场强 解 本题可用取圆环带的方法求解 也可用补偿法求解 解法一取一细圆环带 其半径为r r R 带宽为dr 则圆环带的面积为dS 2 rdr 其上带电量为dq dS 2 rdr 应用已知带电细圆环在轴线上的场强公式 可得该圆环带在轴线上 7 P点产生电场的大小 因此 该系统在P点产生总场强的大小为 方向沿X轴正方向 8 解法二半径为R的圆孔可以看成是其上均匀地分布着电荷面密度为 和 的两种电荷 若在圆孔上补一个半径为R 电荷面密度为 的圆盘 则P点处的场强可以看成是电荷面密度为 的无限大均匀带电平面在P点产生的场强E1和电荷面密度为 半径为R的带电圆盘在P点产生的场强E2的矢量和 由于E1和E2方向均沿X轴方向 P点的总场强E的大小为 方向沿X轴正方向 9 补充题 解 据高斯通量定理 得 当r R时 当r R时 q R O E R r p p 10 电荷q均匀分布在半径为R的球体内 求距离球心r处 r小于R 的电势 据高斯通量定理 得 p 解 p 补充题 11 两个均匀带电的同心球面 内半径为 外半径为 电量分别为 求内球和外球的电势 要求 用多种方法求解 q1 q2 R1 R2 方法 一 由高斯定理可得带电系统在空间的电场分布为 解 用电势定义求解 补充题 由电势的定义可得 内球电势为 外球电势为 12 q1 q2 R1 R2 解 方法 二 应用电势叠加原理求解 半径为R的均匀带电球面的电势分布为 球内 球外 根据叠加原理 有 13 高斯面 两同心均匀带电球面 带电量分别为q1 q2 半径分别为R1 R2 求各区域内的场强和电势 三个区域中的任意点分别作同心球面高斯球面 设面内电荷为 q 则 解 补充题 14 高斯面 电势分布可由叠加原理和场强积分 两种方法求出 下面用叠加原理方法求解 15 据高斯通量定理 得 又 补充题球形电容器是由内半径为RA和外半径RB的两个同心的金属球壳所组成 求其电容为多少 设内球带电 q 外球带电 q 解 RA RB O q q 16 例计算电量为Q的带电球面球心的电势 解 在球面上任取一电荷元 则电荷元在球心的电势为 由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电势 思考 电量分布均匀 圆环 圆弧 17 18 两条平行的无限长直均匀带电线 相距为a 电荷线密度分别为 求 1 这两根线构成的平面上任一点P的场强 2 任一带电线每单位长度上所受的吸引力 作业题1 12 19 20 根据量子理论 正常状态的氢原子可以看成一电量为 e的点电荷和球对称地分布在其周围的电子云 电子云的电荷密度 式中 试求 1 氢原子内的电场分布 2 计算处的电场强度 并与经典原子模型计算所得的结果相比较 称为玻尔半径 作业题1 14 7 1 在半径为r的球面内的电子电量与之比为 由对称性和高斯定理得 解 21 2 当取时 按经典原子模型 电子以半径作绕核运动 原子核带电e它在电子所在处产生的场强为 22 解 选取厚为h 半径为r的园柱形高斯面S 由高斯定理 得 h r E 实验表明 靠近地面处存在着电场 场强E垂直于地面向下 大小约为100V m 在离地面1 5km高的地方 场强E也是垂直于地面向下的 大小约为25V m 1 计算从地面到此高度的大气中电荷的平均体密度 2 若这些电荷全部分布在地球表面 求面电荷密度 作业题1 15 2 当电荷全部分布在地球表面时 地表面可以看成无限大带电导体平面 由导体表面附近一点场强公式得 其中为地表面外法线方向单位矢量 作业题1 26 求均匀带电圆面 盘 轴线上任一点的电场 解 由均匀带电圆环 模型 轴线上一点的电场 知 强调 斜边 半径为R的圆面 盘 均匀带电 电荷的面密度为 求 轴线上距离圆心坐标为的P处的场强 讨论 即无限大均匀带电平面的场强为 可视为点电荷的电场 即带电平面在无限远处的场强为 25 半径分别为和的两个同心球面都均匀带电 带电量分别为和 两球面把空间分划为三个区域 求各区域的电势分布 并画出曲线 作业题1 36 根据高斯定理 得三个区域 场强变化规律是 解 26 点电荷q处在导体球壳的中心 球壳的内半径为R1 外半径为R2 求场强和电势的分布 并画出E r和U r曲线 作业题1 50 解 点电荷位于球壳的中心 由静电感应知 球壳内表面将均匀带有总电量 q 球壳外表面均匀带有总电量 q 可用两种方法求球壳的电势 1 积分法 2 叠加法 q R1 R2 q q III I II 根据高斯定理得 O O r r E U R1 R1 R2 R2 27 半径为R1的导体球带有电荷q 球外有一个内外半径分别为R2 R3的同心导体球壳 壳上带有电荷Q 求 1 两球的电势和 2 两球的电势差 3 若用导线把内球和球壳连接起来后 和分别为多少 4 在情形 1 和 2 中 若外球壳接地 和分别为多少 5 设外球离地面很远 且内球接地 和各为多少 1 由静电感应知 球壳内表面带电为 q 外表面带电为Q q 如图 根据电势叠加原理得 解 2 由 式 式得 作业题1 52 28 3 用导线把内球和球壳接起来后 电荷只分布在球壳外表面上 且二者等势 如图 则有 4 当外球壳接地时如图所示 外球壳电势为零由电势定义有 29 5 当内球接地时 内球电势为零 因无限远外的电势也为零 这就要求导体球所带电量重新分布 由电势叠加原理知 由上式得 设内球表面带电为 则球壳内表面带电 球壳外表面带电 30 一球形电容器内外薄壳的半径分别为R1和R4 今在两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体壳 求半径为R1和R4两球面间的电容 作业题1 62 因静电感应 各球面带电情况如图所示 导体内部无电场 解 31 32 半径分别为r与R的两个球形导体 各带电荷q 两球相距很远 若用细导线将两球相连接 求 1 每个球所带电荷 2 每球的电势 补充题 两球相距很远 可视为孤立导体 互不影响 球上电荷均匀分布 而 则两球电势分别是 解 导线连接后电荷分别为q1和q2 两球连接后电势相等 由此得到 两球电势 r R q1 q2 q q 33 电量为q的点电荷绝缘地放在导体球壳的中心 球壳的内半径为R1 外半径为R2 求球壳的电势 解 点电荷位于球壳的中心 由静电感应知 球壳内表面将均匀带有总电量 q 球壳外表面均匀带有总电量q 电场的分布具有球对称性 此时可用两种方法求球壳的电势 1 积分法 2 叠加法 补充题 34 如图所示 半径为R1的导体球带电量q 在它外面同心地罩一金属外壳 其内外壁的半径分别为R2与R3 已知R2 2R1 R3 3R1 今在距球心为d 4R1处放一电量为Q的点电荷 并将导体球壳接地 试问 1 球壳带的总电量是多大 2 如果用导线将壳内导体球与壳相连 球壳带电量是多大 1 由于静电感应球壳内表面为 设外表面带电为 如图所示 导体球与导体球壳之间的电势差为 导体球的电势为 由于导体球壳接地 故 补充题 解 35 导体球与导体球壳之间的电势差为 2 当用导线将壳内导体球与壳相连后 导体球与导体球壳等势 电势为零 电荷只能分布在导体球壳外表面上 设外表面带电为 故 36 半径为R1的导体球带有电荷q 球外有一个内 外半径分别为R2 R3的同心等体球壳 壳上带有电荷Q 如果在球壳外再放一个内半径为R4 外半径为R5的同心导体球壳 壳上带有电荷 问 1 和各为多少 2 内球与最外球壳之间的电势差是多少 补充题 解 1 根据静电感应知 各球壳内外表面带电量如图所示 2 37 如图所示 在一个接地导体球附近放一个点电荷q 已知球的半径为R 点电荷q与球心的距离为a 试求导体表面上总的感应电荷q 由电势叠加原理可知 球心O处的电势V0是点电荷q以及球面上感应电荷q 共同产生的 根据静电感应规律 导体是一个等势体 因导体接地 故令导体球的电势为零 则 球心O的电势也为零 接地后导体球表面的感应电荷q 在球面上的分布是不均匀的 设感应电荷面密度为 点电荷q在球心O处产生的电势为 因导体球上感应电荷q 在球面上的分布不均匀 各处 也不一样 所以感应电荷q 在球心的电势由积分计算 为 所以 球心O处的总电势为 负号表示感应电荷与球外电荷q的符号相反 q R a 补充题 解 故 q O 强调 38 半径为R的金属球与地相联接 在与球心相距d 2R处的一点电荷q q 0 求球上的感应电荷q 有多少 静电平衡时 导体为一等势体 即为电势为零的等势体 从而球心处的电势零 而感应电荷相距球心是等距的 从而我们有 补充题 解 39 解 令无限长直线如图放置 电荷线密度为 计算在x轴上距直线为r的任一点P处的电势 因为无限长带电直线的电荷分布延伸到无限远的 所以在这种情况下不能用连续分布电荷的电势公式来计算电势V 否则必得出无限大的结果 显然是没有意义的 同样也不能直接用公式来计算电势 不然也将得出电场任一点的电势值为无限大的结果 计算无限长均匀带电直线电场的电势分布 为了能求得P点的电势 可先应用电势差和场强的关系式 求出轴上P点与参考点P1的电势差 无限长均匀带电直线在X轴上的场强为 过P点沿X轴积分可算得P点与参考点P1的电势差 由于ln1 0 所以本题中若选离直线为r1 1m处作为电势零点 则很方便地可得P点的电势为 这个例题的结果再次表明 在静电场中只有两点的电势差有绝对的意义 而各点的电势值却只有相对的意义 补充题 40 均匀带电圆环 带电量为q 半径为R 求轴线上任意一点的P电势 解 法一 法二 补充题 41 解 已知均匀带电圆盘 半径为R 面电荷密度为 求圆盘轴线上任一点P的电势 并从电势出发计算E 取圆环r r dr 补充题 42 解 采用补偿法来求解 电荷密度均匀为 的球体内 有一球形空腔 将坐标原点建立在球心o上 空腔球心的位置矢量为 试求空腔内任意点的场强 利用高斯定理可求均匀带电 没有空腔的 球体内的任意点的场强 同理负电荷均匀带电球体产生的场强 在空腔内任意点处的场强 腔内为均匀电场 补充题 43 例7 20金属球A与金属球壳B同心放置 已知球A半径为R1 带电为q 金属壳B内外半径分别为R2 R3 带电为Q 求 1 系统的电荷分布 2 空间电势分布及球A和壳B的电势 3 若B接地 结果又如何 解 1 静电平衡时 导体 净 电荷只能分布在导体表面上 球A的电量只可能在球的表面 壳B有两个表面 电量分布在内 外两个表面 由于A B对称中心重合 电荷及场分布应该对该中心是球对称 电荷在导体表面均匀分布 44 按照高斯定理和电荷守恒定律 电荷分布如图所示 可以等效为 真空中三个中心相互重合的均匀带电球面 2 利用叠加原理求电势 45 46 3 若B接地 球壳外表面的电荷将消失 思考 若A B用导线连接 结果如何 47 已知 导体板A 面积为S 带电量Q 在其旁边放入导体板B 求 1 A B上的电荷分布及空间的电场分布 2 将B板接地 求电荷分布 a点 b点 A板 B板 解方程得 电荷分布 48 场强分布 两板之间 板左侧 板右侧 49 半径为R的导体球 放在内 外半径为和的同心导体球壳内 若球和球壳分别带电q和Q 试求 1 球和球壳的电势 2 若用导线将球和球壳连接 此时它们的电势又为多少 解 q q Q 50 补充题由无限长直线电荷的场推导无限大平面电荷的场 设电荷面密度 场点距平面a 如图1 7 电荷元线密度 dy 利用长直电荷的结果 有 利用对称关系 可只考虑方向 51 均匀带电圆环 带电量为q 半径为a 求轴线上任意一点的P势 解 法一 法二 52 解 例已知均匀带电圆盘 半径为R 面电荷密度为 求圆盘轴线上任一点P的电势 并从电势出发计算E 取圆环r r dr 53 例在氢原子内 电子和质子的间距为求它们之间电相互作用和万有引力 并比较它们的大小 解 54 在真空中有电量分别为 Q和 Q的A B两带电平板 相距为d 已知d很小 面积为S 试分析两板间的相互作用力的大小 补充题 对于两板间的相互作用力 有人说 根据库仑定律 则 又有人说 根据F QE 据题意可知A B两板可近似认为是无限大带电板 于是 则 实际上两种说法都不对 在第一种说法中 因为d很小 因此两带电板已不能看作是点电荷系统 因此 该问题不能直接用库仑定律求解 在第二种说法中 虽然F QE是正确的 但对E的理解有误 因为F QE中的E是指Q所在处的场强 而在第二种说法却把两板的合场强看作为Q所在处的场强 因此也是不对的 正确的解法是 A板上的电荷Q在B板Q产生的场中 其 因此 A板上的电荷Q能受的电场力为 同理 这是一对作用力和反作