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文档简介

第二节正态分布的 数字特征 数学与信息技术系 回顾连续型随机变量的数学期望 方差 设X是连续型随机变量 其密度函数为f x X的数学期望可按下面的公式计算 X的方差可按 或利用简便公式 因为X 从而故 正态分布的期望 即E X 分部积分公式 正态分布的方差 可得 从而 由此可见 如果随机变量X服从正态分布 则它的概率密度完全由数学期望与标准差或者方差来决定 所以 正态分布的参数就是随机变量X的数学期望 正态分布的另一参数就是随机变量X的标准差 置换积分变量 正态分布的k阶中心矩 k阶中心矩的定义 所以当k为奇数时 因为被积函数是奇函数 当k为偶数时 因为被奇函数是偶函数 特别是 正态分布的四阶中心矩 P83 置换积分变量 例设随机变量X服从N 0 1 求随机变量函数Y X2的数学期望和方差 解本题可以用三种方法计算数学期望E Y 法1用4 1节例2求得的Y的概率密度直接用定义 因为 所以 置换积分变量 这恰好是X的二阶中心矩 0 因此 可以直接计算 法2由随机变量函数的期望定义 我们有 E X2 D X E X 2 E X 0 D X 1 而 E Y E X2 1 所以 法1由随机变量函数的期望定义可得 下面计算Y的方差 我们利用方差的简化公式 D Y E Y2 E Y 2 关键在于计算E Y2 下面用两种方法来计算它 置换积分变量 法2由k阶中心矩 因为所以 从而 所以 小结 这一讲 我们介绍了正态分布的数学期望 方差和k阶中心矩 我们知道了 如果随机变量X服从正态分布 则它的概率密度完全有数学期望
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