清华控制工程基础课件-5.ppt

2020 2 10 控制工程基础 控制工程基础 第五章 清华大学 2020 2 10 控制工程基础 第五章控制系统的稳定性分析5 1系统稳定性的基本概念5 2系统稳定的充要条件5 3代数稳定性判据 Routh判据 Hurwitz判据 5 4乃奎斯特稳定性判据 Nyquist判据 5 5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性5 6由伯德图判断系统的稳定性5 7控制系统的相对稳定性5 8李雅普诺夫稳定性方法 2020 2 10 控制工程基础 见光盘课件 第五章第一节 2020 2 10 控制工程基础 系统稳定的充要条件对于上图所示控制系统 有 2020 2 10 控制工程基础 撤除扰动 即按照稳定性定义 如果系统稳定 当时间趋近于无穷大时 该齐次方程的解趋近于零 即当时 上式成立 以上条件形成系统稳定的充分必要条件之一 2020 2 10 控制工程基础 对应闭环系统特征根的实部 因此对于定常线性系统 若系统所有特征根的实部均为负值 则零输入响应最终将衰减到零 这样的系统就是稳定的 反之 若特征根中有一个或多个根具有正实部时 则零输入响应将随时间的推移而发散 这样的系统就是不稳定的 由此 可得出控制系统稳定的另一充分必要条件是 系统特征方程式的根全部具有负实部 系统特征方程式的根就是闭环极点 所以控制系统稳定的充分必要条件也可说成是闭环传递函数的极点全部具有负实部 或说闭环传递函数的极点全部在 s 平面的左半面 2020 2 10 控制工程基础 劳斯稳定性判据这一判据是基于方程式的根与系数的关系而建立的 设系统特征方程为式中 为系统的特征根 2020 2 10 控制工程基础 由根与系数的关系可求得 2020 2 10 控制工程基础 从上式可知 要使全部特征根均具有负实部 就必须满足以下两个条件 1 特征方程的各项系数 i 0 1 2 n 都不等于零 因为若有一个系数为零 则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根 才能满足上式 此时系统为临界稳定 根在虚轴上 或不稳定 根的实部为正 2 特征方程的各项系数的符号都相同 才能满足上式 按照惯例 一般取正值 上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件 即 0 但这只是一个必要条件 既使上述条件已满足 系统仍可能不稳定 因为它不是充分条件 2020 2 10 控制工程基础 同时 如果劳斯阵列中第一列所有项均为正号 则系统一定稳定 劳斯阵列为 2020 2 10 控制工程基础 其中系数根据下列公式计算 系数的计算 一直进行到其余的值都等于零时为止 用同样的前两行系数交叉相乘的方法 可以计算c d e等各行的系数 2020 2 10 控制工程基础 2020 2 10 控制工程基础 这种过程一直进行到第n行被算完为止 系数的完整阵列呈现为三角形 在展开的阵列中 为了简化其后的数值计算 可用一个正整数去除或乘某一整个行 这时 并不改变稳定性结论 劳斯判据还说明 实部为正的特征根数 等于劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数 例 设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性 2020 2 10 控制工程基础 解 首先 由方程系数可知已满足稳定的必要条件 其次 排劳斯阵列由劳斯阵列的第一列看出 第一列中系数符号全为正值 所以控制系统稳定 2020 2 10 控制工程基础 例2设控制系统的特征方程式为试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性 解 首先 由方程系数可知已满足稳定的必要条件 其次 排劳斯阵列第一列中系数改变符号两次 说明闭环系统有两个正实部的根 控制系统不稳定 2020 2 10 控制工程基础 对于特征方程阶次低 n 3 的系统 劳斯判据可化为如下简单形式 以便于应用 二阶系统特征式为 劳斯表为故二阶系统稳定的充要条件是 2020 2 10 控制工程基础 三阶系统特征式为 劳斯表为故三阶系统稳定的充要条件是 2020 2 10 控制工程基础 例设某反馈控制系统如下图所示 试计算使系统稳定的K值范围 解 系统闭环传递函数为 2020 2 10 控制工程基础 特征方程为根据三阶系统稳定的充要条件 可知使系统稳定须满足故使系统稳定的K值范围为0 K 6 见光盘课件 第五章第三节 2020 2 10 控制工程基础 例 设控制系统的特征方程式为试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性 解 首先 由方程系数可知已满足稳定的必要条件 各系数排成如下的行列式 2020 2 10 控制工程基础 由于故该系统稳定 2020 2 10 控制工程基础 米哈伊洛夫 定理米哈伊洛夫定理是证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理 其表述为 设n次多项式D s 有P个零点位于复平面的右半面 有q个零点在原点上 其余n P g个零点位于左半面 则当以s j 代入D s 并令 从0连续增大到 时 复数D j 的角增量应等于 2020 2 10 控制工程基础 证 1 设S1为负实根 对于矢量 S S1 当S 0 j 变化时图5 4负实根情况 2020 2 10 控制工程基础 图5 5具有负实部的共轭复根情况因此 n p q 个左根的总角变化量为 n p q 2 2020 2 10 控制工程基础 设S2 S3为具有负实部的共轭复根 S2 a jb a 0 b 0 S3 a jb对于矢量 S S2 和 S S3 当S 0 j 变化时 2020 2 10 控制工程基础 设Sm为正实根 对于矢量 S Sm 当S 0 j 变化时图5 6正实根情况 2020 2 10 控制工程基础 2020 2 10 控制工程基础 设Sm 1 Sm 2为具有正实部的共轭复根 Sm 1 c jd c 0 d 0 Sm 2 c jd对于矢量 S Sm 1 和 S Sm 2 当S 0 j 变化时因此 p个左根的总角变化量为p 2 2020 2 10 控制工程基础 另外 原点根不引起角变化量 综上 推论 如果n次多项式D s 的所有零点都位于复平面的左半面 则当以s j 代入D s 并命 从0连续增大到 时 复数D s 的角连续增大 2020 2 10 控制工程基础 乃奎斯特稳定性判据设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函数分别为 则其开环传递函数为 2020 2 10 控制工程基础 分子为系统闭环特征多项式 而分母为系统开环特征多项式 由于系统开环传递函数分母阶次大于等于分子阶次 故分子分母阶次相同 均为n阶 2020 2 10 控制工程基础 1 如果开环极点均在s左半平面 则根据米哈伊洛夫定理推论 这时如果闭环系统是稳定的 即的所有零点也在左半平面 根据米哈伊洛夫定理推论 则 2020 2 10 控制工程基础 2 如果开环特征多项式有P个根在s右半平面 q个零点在原点 其余 n p q 个根在s左半面 则根据米哈伊洛夫定理推论 这时如果闭环系统是稳定的 即的所有零点也在左半平面 根据米哈伊洛夫定理推论 2020 2 10 控制工程基础 则或开环乃氏图相对 1 j0 点的角变化量为 系统闭环后就是稳定的 也就是说 对于一个稳定的闭环系统而言 当 从0连续增大到 时 开环传递函数在右半平面的每一个极点使角增量为180 开环传递函数在原点处的每一个极点使角增量为90 2020 2 10 控制工程基础 这样 闭环系统是否稳定 可以从开环频率特性的角增量来判断 设开环特征多项式在右半平面有p个零点 原点处有q个零点 其余 n p q 个零点在左半平面 则乃奎斯特稳定判据可表述为 对于系统开环乃氏图 当 从0到 变化时 其相对 1 j0 点的角变化量为时 系统闭环后稳定 2020 2 10 控制工程基础 例 某反馈控制系统如图5 10所示 试问k为何值时 系统稳定 解 系统开环传递函数 2020 2 10 控制工程基础 故p 1 q 0 当K 1时 频率特性为直径大于1的半圆 其频率特性如上图所示 可见此时系统稳定 当0 K 1时 频率特性为直径小于1的半圆 其频率特性如上图所示 可见此时系统不稳定 见光盘课件 第五章第四节 2020 2 10 控制工程基础 例9某反馈控制系统开环传递函数为当K为不同值时的频率特性 如图所示 试判别其稳定性 2020 2 10 控制工程基础 解 因为p 0 q 1 故使系统稳定的条件应为显然 对于K 10的频率特性 满足上式 系统稳定 对于k 40的频率特性 当0 变化时 所以 这时系统不稳定 2020 2 10 控制工程基础 乃奎斯特稳定性判据的另一表述令 从 增长到0 相应得出的乃氏图是与 从0增长到十 得出的乃氏图以实轴对称的 例如图所示的乃氏图 2020 2 10 控制工程基础 当开环特征式具有零根时 对应的乃氏曲线不封闭 为使其封闭 实用中可将其处理成左根 如下图所示 其中 为非常小的正数 从0 90 2020 2 10 控制工程基础 当开环特征式有右根时 乃氏判据可表述为 如果开环特征式具有p个右根 对应封闭的乃氏曲线逆时钟包围 1 j0 点p圈 则系统闭环后稳定 否则不稳定 对于没有右半平面的极点 乃氏判据就变为 如果G j 曲线包围 1 j0 点 系统不稳定 如果G j 曲线不包围 1 j0 点 系统稳定 2020 2 10 控制工程基础 例 某系统开环传递函数为将代入 得乃氏图如下图所示 开环特征式没有右根 封闭的乃氏曲线没有包围 1 j0 点 则系统闭环后稳定 2020 2 10 控制工程基础 2020 2 10 控制工程基础 原点根也可处理成右根 当处理成右根时 如下图所示 其中 为非常小的正数 从180 90 2020 2 10 控制工程基础 例 某系统开环传递函数为将代入 得乃氏图如下图所示 开环特征式有一个右根 封闭的乃氏曲线逆时钟包围 1 j0 点1圈 则系统闭环后稳定 2020 2 10 控制工程基础 2020 2 10 控制工程基础 应用逆Nyquist图的Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据也可以采用逆Nyquist图使用 采用逆Nyquist图的稳定判据可以从顺Nyquist图的稳定判据推导出来 判据表述如下 如果s沿D形围线变化一周时 G s H s 逆时针方向包围 1 j0 点的周数减去G s H s 逆时针方向包围原点的周数等于G s H s 在右半平面的极点数目p 则闭环系统是稳定的 2020 2 10 控制工程基础 例 已知系统的开环传递函数为要求判断闭环系统的稳定性 由开环传递函数得 2020 2 10 控制工程基础 当s沿广义D形围线变化一周时 逆Nyquist图逆时针方向包围 1 j0 0周 减去逆Nyquist图逆时针方向包围原点0周 等于0 又因为右极点数p o 所以闭环系统稳定 2020 2 10 控制工程基础 并联延时环节的系统稳定性如下图所示 这时系统的开环传递函数为显然 G s H s 由两项组成 直接做乃氏图往往感到困难 设系统闭环特征方程为将此方程写为于是就可研究是否包围 1 1 的情况 进而判定闭环系统的稳定性 1 1 可看成扩大的 1 j0 点 必要时可将 1 1 简化 2020 2 10 控制工程基础 2020 2 10 控制工程基础 例 下图所示为机床 如镗床 铣床 的长悬臂梁式主轴的工作情况 由于主轴刚性低 常易产生振动 下面分析其动态特性 2020 2 10 控制工程基础 1 机床主轴系统的传递函数将主轴简化为集中质量m作用于主轴端部 令P t 切削力 y t 主轴前端刀具处因切削力产生的变形量 c 主轴系统的当量粘性系数 主轴系统的当量刚度 主轴端部的运动微分方程为其传递函数为 2020 2 10 控制工程基础 12 切削过程的传递函数若工件名义进给量为 由于主轴的变形 实际进给量为u t 于是U s Uo s Y s 若主轴转速为n 刀具为单齿 则刀具每转一周需要时间 刀具在每转动一周中切削的实际厚度为 u t u t 令kc为切削阻力系数 它表示切削力与切削厚度之比 则 2020 2 10 控制工程基础 其闭环系统的特征方程为 2020 2 10 控制工程基础 则 即令这样一来就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标是否包围 1 j0 点的问题归结为Gm j 的极坐标轨迹是否包围Gc j 的极坐标轨迹的问题 下面分别作出Gm j 和Gc j 的极坐标轨迹 2020 2 10 控制工程基础 2020 2 10 控制工程基础 2020 2 10 控制工程基础 1 若Gm j 不包围Gc j 即Gm j 与Gc j 不相交 如曲线 则系统绝对稳定 因此系统绝对稳定的条件是Gm j 中的最小负实部的绝对值 无论提高主轴的刚度km 还是减少kc 切削阻力系数 都可提高稳定性 但对提高稳定性最有利的是增加阻尼 2 若Gm j 包围Gc j 一部分 即Gm j 与Gc j 相交 如曲线 则系统可能不稳定 但在一定条件下也可稳定 如果在工作频率 下 保证 避开的范围 也就是适当选择 系统仍可稳定 所以 在此条件下系统稳定的条件为 选择适当的主轴转速n 在单刀铣刀时 1 n 使Gm j 不包围 点 2020 2 10 控制工程基础 由伯德图判稳定性如果0型系统在开环状态下特征方程有P个根在右半平面内 并设开环静态放大倍数大于零 在所有L 0频率范围内 相频特性曲线 在 线上正负穿越之差为p 2次 则闭环系统稳定 当乃氏图从大于 的第三象限越过负实轴到第二象限时 叫负穿越 而当乃奎斯特图随 增加逆时针从第二象限穿过负实轴向第三象限去的时候 称之为正穿越 而 0时 0 为 乃氏图向第三象限去的时候 称之为半次正穿越 而向第二象限去的时候 叫半次负穿越 2020 2 10 控制工程基础 2020 2 10 控制工程基础 图5 36 a 已知p 0 即开环无右特征根 在L 0的范围内 正负穿越之差为0 可见系统闭环后是稳定的 图5 36 b 已知开环传递函数中有一个右半平面极点 即P 1 在L 0的频率范围内 只有半次正穿越 可见系统是稳定的 图5 36 c 已知P 2 而在L 0的范围内 正负穿越之差为1 2 1 2 2 系统闭环后是不稳定的 图5一36 d 已知p 2 而在L 0的范围内 正负穿越之差为2 1 1 2 2 故系统闭环后是稳定的 2020 2 10 控制工程基础 采用劳斯判据看系统相对稳定性如果系统闭环特征根均在s左半平面 且和虚轴有一段距离 则系统有一定的稳定裕量 如下图 向左平移虚轴 令z s 即将s z 代入系统特征式 得到z的方程式 类似采用劳斯判据 即可求出距离虚轴 以右是否有根 2020 2 10 控制工程基础 例 令z s 1 即s z 1 代入系统特征式 得即z的多项式各项系数无相反符号 且劳斯判据第一列未变号 可见 系统特征式在s 1以右没有根 2020 2 10 控制工程基础 李雅普诺夫稳定性方法对于现代控制理论涉及的更广泛类型的系统 通常采用李雅普诺夫稳定性判据 李雅普诺夫 1857 1918俄国数学家 2020 2 10 控制工程基础 李雅普诺夫第一方法又称间接法 它是通过系统状态方程的