道格拉斯生产函数PPT课件.ppt

第4讲生产者理论 目标 获得单个厂商供给曲线方法 利润最大化厂商的利润为 PQ wL rK 服从约束为生产函数Q f L K 第7章 令Q Q0 求取C Q 第8章 PQ C Q 求得最优Q 第9章 1 生产函数 2 生产函数 厂商关于某种商品 q 的生产函数表示了资本 k 和劳动 l 不同组合所能生产的最大的商品数量q f k l 3 边际产品 为了研究单一投入的变动 我们将在保持其他投入要素不变的情况下 增加一单位某一要素所增加的产出量称为边际产品 4 边际生产率递减 一种要素的边际产出取决于投入的要素量一般而言 我们假设边际生产率递减 5 边际生产率递减 由于边际生产率递减 19世纪经济学家托马斯 马尔萨斯担心人口增长会对劳动生产率产生不良影响 但是一段时间内 劳动的边际产出还取决于其他要素 例如资本 投入的变动 我们必须考虑flk 其始终大于0 6 平均产出 我们经常使用平均产出衡量劳动生产率 注意APl还取决于所用的资本量 7 两种投入生产函数 假设厂商的生产函数可被表示为q f k l 600k2l2 k3l3为得到MPl和APl 我们必须先设定k的值令k 10产出函数就变为q 60 000l2 1000l3 8 两种投入生产函数 边际产出函数为MPl q l 120 000l 3000l2随l增加递减这就意味着q有最大值 120 000l 3000l2 040l l2l 40即劳动投入超过l 40时 产出将减少 9 两种投入生产函数 为得到平均产出 我们假设k 10并进行求解APl q l 60 000l 1000l2APl达到最大值当 APl l 60 000 2000l 0l 30 10 两种投入生产函数 事实上 当l 30时 无论APl还是MPl均等于900 000所以 当APl为最大值时 APl与MPl相等 11 等产量曲线图 为更好地表示一种投入对另一种可能的替代关系 我们引入等产量曲线图一条产量线表示生产给定产量产出 q0 所需k和l的不同组合f k l q0 12 等产量曲线图 l每期 k每期 13 边际技术替代率 RTS l每期 k每期 q 20 斜率 边际技术替代率 RTS RTS 0随着劳动投入的增多递减 14 边际技术替代率 RTS 边际技术替代率表示在保持产出不变的情况下 即在同一条等产量线上 劳动可以在多大程度上替代资本 15 边际技术替代率和边际产出 对生产函数进行全微分 在同一条等产量线上dq 0 所以 16 边际技术替代率和边际产出 由于MPl和MPk均非负 RTS也为正 或0 但是 单单假设边际产出递减往往并不能推导出边际技术替代率递减 17 边际技术替代率和边际产出 为了证明等产量线为凸 我们希望得到d RTS dl 0因为RTS fl fk 18 边际技术替代率和边际产出 在一条等产量线上dk dl fl fk 且存在Young定理 fkl flk 由于我们已假设fk 0 所以分母为正由于fll和fkk均被假设为负 如果fkl为正的话 那么分子为负 19 边际技术替代率和边际产出 直觉上 fkl和flk应该相等且为正如果工人们有更多的资本 他们就能有更多的产出但是有些生产函数中 超出一定投入界限后 fkl 0当我们假设边际技术替代率递减时 我们便认为MPl和MPk递减足够快以抵补任何可能的负的交叉生产率效应 20 递减的边际技术替代率 假设生产函数为q f k l 600k2l2 k3l3对于这种生产函数而言MPl fl 1200k2l 3k3l2MPk fk 1200kl2 3k2l3当kl 400时 k和l的边际生产率将为正 21 递减的边际技术替代率 因为fll 1200k2 6k3lfkk 1200l2 6kl3这一生产函数就意味着k和l足够大时 边际生产率递减fll和fkk200 22 递减的边际技术替代率 对任一生产函数求二阶交叉导数得fkl flk 2400kl 9k2l2仅当kl 266时 为正 23 递减的边际技术替代率 所以 对于这一生产函数而言 在k和l能保证边际生产率递减的区域内 边际技术替代率均为递减若k和l较大 则递减的边际生产率就足以抵消fkl为负的影响 以保证等产量线的凸性 24 规模报酬 产出会对所有投入的增加做何反应 假设所有投入都翻番 产出是否会翻番 规模报酬从亚当斯密时代就进入了经济学家们的视野 25 规模报酬 斯密发现 当投入翻番时会有两种力量发生作用生产中劳动分工的进一步细化和专业化效率降低 因为企业规模变大会导致管理难度增加 26 规模报酬 如果生产函数给定为q f k l 所有的投入都乘以某个正常数 t 1 则 27 规模报酬 对同一生产函数 可出现在一定投入水平规模报酬不变 而在其他水平上递增或递减经济学家提及规模报酬时隐含一个认知 将投入变动限制在一个微小范围内 来考虑产出的变动 28 规模报酬不变 规模报酬不变的生产函数对于投入是一阶齐次的f tk tl t1f k l tq这就意味着边际生产率函数为零阶齐次的 如果一个函数是k阶齐次的 那么其导数就是k 1阶齐次的 29 规模报酬不变 任何投入的边际生产率取决于资本和劳动之比 而不是这些投入的具体水平 k和l之间的边际技术替代率仅仅取决于k和l之比 而不是运行规模 30 规模报酬不变 生产函数是位似的从几何上看 所有的等产量线均是彼此的射线扩展 31 规模报酬不变 l每期 k每期 32 规模报酬 规模报酬可被扩展为n种投入的生产函数q f x1 x2 xn 如果所有的投入均乘以一个正常数t 可以得到f tx1 tx2 txn tkf x1 x2 xn tkq如果k 1 规模报酬不变如果k1 规模报酬递增 33 替代弹性 替代弹性 衡量沿着一条等产量线 RTS变动一个百分点 k l变动多少个百分点 值永远为正 因为k l和RTS同向变动 34 替代弹性 l每期 k每期 q q0 是这些比例变化的比值 衡量等产量线的曲率 35 替代弹性 如果 较高 RTS的变动没有k l大等产量线会相对平坦如果 较低 RTS的变动会比k l的变动大等产量线会相对陡峭 沿着一条等产量线变动 或随着生产规模变化而变动都是可能的 36 替代弹性 将替代弹性扩展至多投入情形 会导致一些复杂的状况如果我们将两种投入间的替代弹性定义为两种投入之比的百分比变化除以RTS的百分比变化 我们必须保持产出和其他投入不变 37 线性生产函数 假定生产函数为q f k l ak bl此生产函数为规模报酬不变f tk tl atk btl t ak bl tf k l 所有的等产量线都是直线RTS是常数 38 线性生产函数 l每期 k每期 资本和劳动为完全替代的 39 固定比率生产函数 假定生产函数为q min ak bl a b 0资本和劳动必须按照固定比率使用厂商总是沿着一条k l等于常数的射线经营因为k l是常量 0 40 固定比率生产函数 l每期 k每期 资本和劳动之间不能替代 0 41 柯布 道格拉斯生产函数 假定生产函数是q f k l AkalbA a b 0这个生产函数可以具有不同的规模报酬特征f tk tl A tk a tl b Ata bkalb ta bf k l 如果a b 1 规模报酬不变如果a b 1 规模报酬递增如果a b 1 规模报酬递减 42 柯布 道格拉斯生产函数 柯布 道格拉斯生产函数是对数线性的lnq lnA alnk blnla是产出相对于投入k的弹性b是产出相对于投入l的弹性 43 CES生产函数 假定生产函数为q f k l k l 1 0 0 1 规模报酬递增 1 规模报酬递减对于此生产函数 1 1 1 线性生产函数 固定比率生产函数 0 柯布 道格拉斯生产函数 44 广义里昂惕夫生产函数 假定生产函数为q f k l k l 2 kl 0 5边际生产率为fk 1 k l 0 5fl 1 k l 0 5所以 45 技术进步 生产方法随时间改变随着高级生产技术的发展 生产同样的产出所需的投入量变小等产量线内移 46 技术进步 假定生产函数为q A t f k l 其中A t 代表除了k和l以外 影响q的因素A随时间的变动表示了技术进步A可以看成是时间 t 的函数dA dt 0 47 技术进步 将生产函数对时间微分可得 48 技术进步 两边除以q 49 技术进步 对于任意变量x dx dt x 是x的增长率记作Gx则我们可将上式写成增长率的形式 50 技术进步 因为 51 柯布 道格拉斯生产函数中的技术进步 假定生产函数为q A t f k l A t k l1 如果我们假设技术进步率为指数形式 那么A t Ae tq Ae tk l1 52 柯布 道格拉斯生产函数中的技术进步 取对数对时间t微分 得到增长方程 53 柯布 道格拉斯生产函数中的技术进步 54 成本函数 55 成本的定义 区分会计成本和经济成本非常重要会计意义上的成本概念强调掏兜花费 历史成本 贬值和其他簿记项经济学家们则更关注经济成本 56 成本的定义 劳动成本对于会计师而言 劳动支出为当期花费 因此也就是当期的生产成本对经济学家来说 劳动是一个确切的成本劳动服务可依据和约获得某个确定的小时工资 w 这一小时工资也是在其他地方就业所能获得的收入 57 成本的定义 资本成本会计师使用资本的历史价格 并采用某些贬值规则来计算当期成本经济学家将资本的原始价格称为 沉淀成本 转而考虑资本的内在成本 即其他人为了使用这些资本而愿意支付的价格我们使用v来表示资本的出租率 58 成本的定义 企业家成本会计师相信企业的拥有者也应该拥有所有利润在支付所有的投入成本后剩下收益或损失经济学家们则考虑企业家贡献给自己企业的时间和资金的机会成本部分会计利润会被经济学家认为是企业家成本 59 经济成本 任一投入的经济成本是能保持该投入在目前使用状况下的支出这一投入能在其他最佳的使用情况下得到的补偿 60 两个简单化假设 有两种投入同质劳动 l 以劳动小时衡量同质资本 k 以机器小时衡量企业家成本包含在资本成本中要素市场为完全竞争市场厂商在生产要素市场上为价格接受者 61 经济利润 厂商的总成本被给定为总成本 C wl vk厂商的总收益被给定为总收益 pq pf k l 经济利润 等于 总收益 总成本 pq wl vk pf k l wl vk 62 经济利润 经济利润是所使用的资本和劳动投入量的函数我们来检验一个厂商怎样选择k和l来最大化利润劳动和资本投入的 引致需求 理论现在 我们假设厂商已经选择了其产出水平 q0 来最小化其成本 63 成本最小化投入选择 为了最小化某一产出水平的成本 厂商会选择等产量线上的一点 满足RTS等于w v在生产过程中用k可换得的l与市场上一致 64 成本最小化投入选择 数学上 我们希望在给定q f k l q0的前提下最小化成本我们通过建立拉格朗日函数来最小化总成本 L wl vk q0 f k l 一阶条件为 L l w f l 0 L k v f k 0 L q0 f k l 0 65 成本最小化投入选择 将前两个等式相除可得 成本最小化厂商应使其两种投入的边际技术替代率 RTS 等于两种投入要素的价格之比 66 成本最小化投入选择 交叉相乘 我们得到 在成本最小化的前提下 花费在任何要素上的一元的边际生产率都应相等 67 成本最小化投入选择 注意这一公式的倒数也是有意义的 拉格朗日乘子表示略微放松产出约束所带来的成本增量 68 成本被表示成斜率为 w v的平行线 成本最小化投入选择 l每期 k每期 C1 C2 C3 69 C1 C2 C3 q0 生产q0的最低成本是C2 成本最小化投入选择 l每期 k每期 70 投入的条件要素需求 在前面 我们考虑了消费者的支出最小化问题我们利用这种技术获得了一种商品的补偿需求我们能否使用同一方法获得厂商的要素需求吗 71 投入的条件要素需求 在当前的问题中 成本最小化问题所蕴含的资本和劳动需求依赖于生产的产出水平要素需求是引致需求取决于厂商的产出水平 72 厂商的扩展路径 厂商能够决定在每一产量水平上成本最小化的k和l的组合如果对于厂商需求的任意数量的k和l 要素成本都保持不变 那么我们便可获得成本最小化选择点的轨迹成为厂商的扩展路径 73 厂商的扩展线 l每期 k每期 该曲线表示投入如何随着产出的增加而增加 74 厂商的扩展线 扩展线并不一定是直线随着产出增长 某些投入的增加可能大于其他要素取决于等产量线的形状扩展线也应不必然是向上倾斜的如果某种投入随着产出扩张而下降 那么这种投入即为劣等投入 75 成本最小化 假设生产函数为柯布 道格拉斯生产函数 q k l 对于产量q0的成本最小化拉格朗日表达式为L vk wl q0 k l 76 成本最小化 最小值的一阶条件为 L k v k 1l 0 L l w k l 1 0 L q0 k l 0 77 成本最小化 将第一个等式除以第二个等式 生产函数是位似的RTS仅取决于两种投入之比扩展线是一条直线 78 成本最小化 假设生产函数为CES型生产函数 q k l 对于产量q0的成本最小化拉格朗日表达式为L vk wl q0 k l 79 成本最小化 最小化的一阶条件为 L k v k l k 1 0 L l w k l l 1 0 L q0 k l 0 80 成本最小化 前两式相除得到 生产函数也是位似的 81 总成本函数 总成本函数表示对于任意的要素成本和产量水平 厂商的最小成本C C v w q 随着产出 q 增加 总成本上升 82 平均成本函数 平均成本函数 AC 表示每单位产出的总成本 83 边际成本函数 边际成本函数 MC 表示一单位产出变化带来的总成本的变化 84 总成本的图形分析 假定生产一单位产出需要k1单位资本和l1单位劳动C q 1 vk1 wl1为了生产m单位产出 假定规模报酬不变 C q m vmk1 wml1 m vk1 wl1 C q m m C q 1 85 总成本的图形分析 产出 总成本 AC MC AC和MC都是常数 86 总成本的图形分析 假定总成本开始时凹的 然后随着产量增加变成凸的一种可能的解释是随着资本和劳动的增加 还存在一种数量固定的其他生产要素边际报酬递减发生后总成本快速上升 87 总成本的图形分析 产出 总成本 88 总成本的图形分析 产出 平均和边际成本 89 成本线的移动 画出成本线的假设是要素价格和技术水平不变这些因素的改变会引起成本线移动 90 一些成本函数的例子 假定固定比率的生产函数q f k l min ak bl 生产发生在L 形等产量线顶点 q ak bl C w v q vk wl v q a w q b 91 一些成本函数的例子 假设柯布 道格拉斯生产函数q f k l k l 成本最小化要求 92 一些成本函数的例子 代入生产函数 解出l 得到 同样方法得到 93 一些成本函数的例子 因此 总成本函数为 其中 这是一个常数 仅仅包括参数 和 94 一些成本函数的例子 假设CES生产函数q f k l k l 为了获得总成本 我们利用同样的方法得到 95 柯布 道格拉斯成本函数的移动 柯布 道格拉斯成本函数是 其中 如果我们假定 0 5 可以很大简化总成本曲线 96 柯布 道格拉斯成本函数的移动 如果v 3 w 12 成本 C 480来生产q 40AC C q 12MC C q 12 97 柯布 道格拉斯成本函数的移动 如果v 3 w 27 成本 C 720来生产q 40AC C q 18MC C q 18 98 条件要素需求 可以从成本函数中获得厂商各种投入的条件需求谢泼德引理任何投入的条件需求函数为总成本函数对这种投入价格的偏微分 99 条件要素需求 假定我们的技术是固定比例的成本函数是 100 条件要素需求 对于这个成本函数 条件需求函数相当简单 101 条件要素需求 如果是柯布 道格拉斯技术成本函数是 102 条件要素需求 对于这个成本函数 求导有些繁琐 103 条件要素需求 要素的条件需求依赖于所有要素的价格 104 短期和长期的区别 在短期 经济参与者行动的灵活度有限假设资本投入保持在k1 厂商自有改变劳动投入生产函数变为q f k1 l 105 短期总成本 厂商的短期总成本SC vk1 wl存在两种短期成本 短期固定成本是使用量固定的要素的成本 vk1 短期可变成本是使用量可变的要素的成本 wl 106 短期总成本 短期成本不是生产各种产量的最小成本厂商无法改变投入组合为了在短期内改变产出 厂商必须使用非最优的投入组合RTS不一定等于要素价格之比 107 短期总成本 l每期 k每期 q0 q1 q2 108 短期边际和平均成本 短期平均总成本 SAC 函数是SAC 总成本 总产出 SC q短期边际成本 SMC 函数是SMC SC改变量 产出改变量 SC q 109 短期和长期成本的关系 产量 总成本 长期C可以通过改变k的水平获得 110 短期和长期成本的关系 产出 成本 短期和长期的AC和MC如图 111 短期和长期成本的关系 在AC曲线的最低点 MC与AC曲线相交在这点MC ACSAC曲线和AC曲线相切 对于某个水平的k SAC也在AC的这个产出水平上最小在这点SMC与SAC相交AC MC SAC SMC 112 113 利润最大化 113 114 厂商的性质 厂商是参与人构成的组织 这些参与人组织到一起的目的是将投入转化为产出不同的参与人提供不同的投入投入要素提供者之间的合约关系可能相当复杂 114 115 合约关系 一些要素提供者之间的合约可能相当清晰界定了工作时间 工作细节和收入其它的合约安排在性质上更加隐晦决策机构或者共同承担任务 115 116 厂商行为模型 大多数经济学家将厂商看作一个单一的决策单位决策由一个独裁的经理作出 他理性地追寻某些目标通常是利润最大化 116 117 利润最大化 利润最大化厂商选择投入和产出 其目标是获得最大的经济利润最大化总收益和总经济成本之差 117 118 利润最大化 如果厂商是严格的利润最大化者 他们利用 边际 方式作出决策考察多雇用一单位劳动生产的额外产出获得的边际利润 118 119 产出选择 厂商总收益为R q p q q为了生产q 引致了经济成本 C q 经济利润 是总收益和总成本之差 q R q C q p q q C q 119 120 产出选择 选择利润最大化产出水平q的必要条件是令 对q的导数等于零 120 121 产出选择 为了最大化经济利润 厂商选择边际收益等于边际成本的产出 121 122 二阶条件 MR MC仅仅是利润最大化的一阶必要条件为获得充分条件 要求 边际利润 在最优产量q必须是递减的 122 123 利润最大化 产出 收入和成本 R C 123 124 边际收益 如果厂商能在不影响市场价格的条件下销售所有希望销售的商品 边际收益将会等于价格如果厂商面临一条向下倾斜的需求曲线 厂商只有在削减价格的条件下才能销售更多的商品 124 125 边际收益 如果厂商面临向下倾斜的需求曲线 边际收益是产量的函数如果随着厂商增加销售量价格下降 边际收益小于价格 125 126 边际收益 假定需求曲线为q 100 10p解出价格p q 10 10那么 总收益为R pq q2 10 10q边际收益将是MR dR dq q 5 10 126 127 利润最大化 为了确定利润最大化产量 我们必须知道厂商的成本如果厂商的平均成本和边际成本都是常数 4 那么MR MC q 5 10 4q 30 127 128 边际收益和弹性 边际收益这个概念直接和厂商面临的需求曲线的弹性联系在一起需求的价格弹性为价格改变一个百分点导致的需求量改变的百分比 128 129 边际收益和弹性 这意味着 如果需求曲线向下倾斜 eq p 0 MR p如果需求富有弹性 eq p 1 此时边际收益为正如果需求具有完全弹性 eq p 此时边际收益等于价格 129 130 边际收益和弹性 130 131 逆弹性法则 因为当厂商利润最大化时MR MC 所以 价格和边际成本的差距随着厂商面临的需求曲线更加富有弹性而下降 131 132 逆弹性法则 如果eq p 1 MC 0这意味着厂商会选择在需求曲线富有弹性的点运营 132 133 平均收益曲线 如果我们假设厂商必须在一个价格水平上销售所有商品 我们可以把厂商面对的需求曲线看成它的平均收益曲线表示了不同产出选择下每单位平均收益 133 134 边际收益曲线 边际收益曲线表示最后销售的一单位产品带来的收益如果厂商面临向下倾斜的需求曲线 边际收益曲线在需求曲线之下 134 135 边际收益曲线 产出 价格 D 平均收益 MR q1 p1 随着产出从0增加到q1 总收益增加 因此MR 0 随着产出超过q1 总产出下降 因此MR 0 135 136 边际收益曲线 如果需求曲线移动 与之伴随的边际收益曲线也会移动边际收益曲线无法在不参考一条特定的需求曲线的条件下计算 136 137 常弹性情况 我们看到过 在第5章 如下形式的需求曲线q apb需求的价格弹性为常数b从这个方程中解出pp 1 a 1 bq1 b kq1 b其中k 1 a 1 b 137 138 常弹性情况 这意味着R pq kq 1 b b同时MR dr dq 1 b b kq1 b 1 b b p这隐含着MR与价格成正比 138 139 价格接受厂商的短期供给曲线 产出 价格 SMC SAC SAVC 139 140 价格接受厂商的短期供给曲线 产出 价格 SMC SAC SAVC p MR q 140 141 价格接受厂商的短期供给曲线 产出 价格 SMC SAC SAVC p MR q 141 142 价格接受厂商的短期供给曲线 产出 价格 SMC SAC SAVC p MR q 利润最大化要求p SMC 同时SMC是向上倾斜的 0 142 143 价格接受厂商的短期供给曲线 短期边际成本曲线斜率为正的部分是价格接受厂商的短期供给曲线表示了在各种可能的市场价格上厂商会生产多少在短期中 厂商仅仅在总收益超过可变成本的条件下运营如果p SAVC 厂商不生产 143 144 价格接受厂商的短期供给曲线 这样 价格接受厂商的短期供给曲线是短期边际成本曲线斜率为正的部分 同时要在最低平均可变成本之上如果价格低于这个水平 厂商利润最大化的决策是停业 什么也不生产 144 145 价格接受厂商的短期供给曲线 output 价格 SMC SAC SAVC 145 146 短期供给 假定厂商的短期总成本曲线是SC v w q k vk1 wq1 k1 其中k1是短期内维持不变的资本水平短期边际成本是 146 147 短期供给 价格接受厂商在p SMC获得最大利润 因此 供给数量是 147 148 短期供给 为了获得厂商停业价格 我们需要解出SAVCSVC wq1 k1 SAVC SVC q wq 1 k1 SAVC SMC 对于所有的 1没有足够低的价格使得厂商停业 148 149 利润函数 厂商的经济利润可以表示为投入的函数 pq C q pf k l vk wl仅仅有k和l在厂商的控制之下厂商选择投入水平来最大化利润在这个决策中 将p v和w是固定的参数 149 150 利润函数 厂商的利润函数表示了最大利润 是厂商面对的价格的函数 15