概率论与数理统计练习题

第一章应用题1. 设有n个球，每个球都等可能地放入N（ ）个盒子中去，试求每个盒子至多有一个球的概率。解：将n个球放入N个盒子中，每一种放法是一个基本事件，这是等可能事件。因为每个球都可以放入N个盒子中的任意个盒子中，故共有 种不同的放法。而每个盒子至多有一个球，共有 种不同的放法，因此所求概率为 2. 某人有5把钥匙，其中有2把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪2把，只好逐次试开，问此人在3次内打开房门的概率是多少？解法一：设 表示事件“第k次才打开房门”（k=1,2,3），则 用A 表示事件“3次内打开房门”，则 而 两两互不相容，因此解法二：因为 ，有 故P(A)=9/10.3.甲、乙两人进行射击比赛，根据以往数据可知，甲命中率为0.9，乙命中率为0.8. 现在甲、乙两人各独立地同时向目标射击，求（1）甲、乙两人都中靶的概率；（2）甲、乙两人至少有一个中靶的概率。解：设甲、乙两人中靶事件分别为A和B，则有 4. 发射台将编码分别为1，0的信息传递出去，发出1被误收成0的概率是0.02，发出0被误收到1的概率是0.01，信息1与0发出的概率为2：1，若接收的信息是1，问发出的信息确是1的概率。解：令A表示收到信息为1这一事件； B表示发出的信息为1. 则选择题1. 设 ,则正确结论是（C）（A） A,B不相容；（B） A,B相互对立；（C） A,B相互独立；（D） A,B不相互独立.2. 一盒产品中有a只正品，b只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为(C) 3. 某人连续向一目标射击，每次击中目标的概率为3/4，则需射击3次才击中目标的概率为(A) 4. 若随机事件A与B相互独立，则P(A+B)=（B）5. 若随机事件A,B的概率分别为,则A与B一定（D）(A) 相互对立(B) 相互独立(C) 互不相容(D) 相容填空题1. 在古典概型的随机试验中，P(A)=0当且仅当A是_(不可能事件)2. 若A,B是两个事件，且 ,则有P(B-A)=_(P(B)-P(A)3. 设袋中有20个黄球，30个白球。现有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到黄球的概率是_(2/5)4. 甲、乙两人独立地向一目标各射击一次，其命中的概率分别为0.6,0.5。则目标被击中的概率为_(0.8)， 目标被击中的前提是是甲击中的概率为_(3/4).5. A,B为两个事件，已知P(A)=0.2，P(B)=0.3， 则 _(0.9)证明题1. 设随机事件P(A)=x, P(B)=2x, P(C)=3x, 且P(AB)=P(BC), 证明x的最大值不超过1/4证明：由 所以 即 2. 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，若事件组 则有 证明：由 根据 ，且 得 第二章第二章命十道选择题、十道填空题、三道应用题、六道计算题(或综合题)一、选择题1 设随机变量的概率密度，则q=（B ）。(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/22. 设是随机变量的概率密度,则一定成立的是( B )(A) 定义域为; (B) 非负; (C) 的值域为; (D) 连续3. 假设随机变量的分布函数为，密度函数为若与有相同的分布函数，则下列各式中正确的是CA； B； C； D；4、设离散型随机变量的联合分布律为 且相互独立，则( A ) A. ； B. ； C. ； D. .7.设 则与为 （ C ）独立同分布的随机变量； 独立不同分布的随机变量；不独立同分布的随机变量； 不独立也不同分布的随机变量.8. 设二维随机变量（X、Y）的联合分布为YX12 24则PXY=4=（A）A. B. C.D. 9. 设二维随机变量（X，Y）的分布律为 Y X12300.20010.10.20.120.30.10则PX=Y=（A）A0.2B0.3C0.4D0.110. 下面分布函数表达错误的是（ C ）A. B. C. D. 二、填空题1 设随机变量X的概率密度 则（ 0.6 ）。2设有7件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ 1/7 ）。3设随机变量X的概率密度 则（ 0.8 ）。4设随机变量在区间上服从均匀分布,则的概率密度函数为 5 设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为_5/6_6设随机变量X的概率密度 则（ 7/10 ）。7、 设随机变量X与Y相互独立，且，则P(X =Y)= 0.5 .8. 设随机变量 X，Y相互独立，且,则_.9. 设随机变量，且则_.10. 设随机变量的密度函数为，则常数= 1 .三、计算题1 设二维随机变量的联合分布密度分别求关于X与关于Y的边缘密度函数。 （2分） （3分） 2设连续型随机变量的密度为 (1)确定常数 (2)求 (3)求分布函数F(x).故 。 （3分）当x0）未知，为一相应的样本值。求的最大似然估计值。解：似然函数为 ，相应的对数似然函数为 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为6、设是总体的一个样本，为一相应的样本值。总体的概率密度函数为，求参数的最大似然估计量和估计值。解：似然函数为 ，相应的对数似然函数为 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为。相应的最大似然估计量为四、应用题1、以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求的置信水平为0.95的置信区间。解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，的置信水平为的置信区间为。的置信水平为0.95的置信区间为2、以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求的置信水平为0.90的置信区间。解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题。根据标准的结论，的置信水平为的置信区间为。的置信水平为0.90的置信区间为3、一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值分，样本标准差分。设样本来自正态总体，均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间。解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为4、一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间。在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值分，样本标准差分。设样本来自正态总体，均未知。求干燥时间的数学期望的置信水平为0.90的置信区间。解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题。根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.90的置信区间为5、以X表示某种小包装糖果的重量（以g计），设，今取得样本（容量为）：55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46求的最大似然估计值和置信水平为0.95的置信区间。解：根据已知结论，正态分布均值的最大似然估计量和矩估计量相同：。所以的最大似然估计值为的置信水平为0.95的置信区间为第七章试题一、选择：1、如果一项假设规定的显著水平为0.05，下列表述正确的是 （ A ）A、接受H0时的可靠性为95% B、接受H1时的可靠性为95% C、H0为假时被接受的概率为5% D、H1为真时被拒绝的概率为5%2、某种药物的平均有效治疗期限按规定至少必须达到37小时，平均有效治疗期限的标准差已知为11小时。从这一批这种药物中抽取100件进行检验，以该简单随机样本为依据，确定应接收还是应拒收这批药物的假设形式为 （ C ）A、H0：=37 H1：37 B、H0：37 H1：37C、H0：37 H1：37 D、H0：37 H1：373、在假设检验中，接受原假设时， （ B ） A.可能会犯第一类错误 B. 可能会犯第二类错误 C.同时犯两类错误 D.不会犯错误4、 进行假设时，在其他条件不变的情形下，增加样本量，检验结论犯两类错误的概率将（ A ）A.都减小 B. 都增加 C.都不变 D.一个增加一个减少5、在假设检验中，是指 （ B ）A.拒绝了一个真实的原假设的概率 B.接受了一个真实的原假设概率 C. 拒绝了一个错误的原假设的概率 D. 接受了一个错误的原假设概率二、填空：1、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受假设，那么在显著性水平0.01下，必然接受。2、在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平为，则犯第一类错误的概率是。3、设总体，样本，未知，则，的拒绝域为 ，其中显著性水平为。4、设是来自正态总体的简单随机样本，其中未知，记，则假设的检验使用统计量 .5、，是总体的简单随机样本，分别为样本均值与样本方差，已知，则关于原假设的检验统计量= . 三、计算和综合：1、已知某炼铁厂的铁水含碳量XN(5,0.36)，现改变了工艺条件，又测得9炉铁水的平均含碳量，假设方差无变化，问总体的均值是否有明显改变？（取=0.05，0.025=1.96，0.05=1.645） 解:由问题提出假设，由，得，从而没有落入拒绝域，故不能拒绝，即认为总体的均值没有明显改变。2、一种燃料的辛烷等级服从正态分布，其平均等级，标准差现抽取25桶新油，测试其等级，算得平均等级为97.7假定标准差与原来一样，问新油的辛烷平均等级是否比原燃料的辛烷平均等级偏低？（，0.025=1.96，0.05=1.645）解：按题意需检验假设，故拒绝H0，即认为新油的辛烷平均等级比原燃料辛烷的平均等级确实偏低3、用热敏电阻测温仪间接测量地热，勘探井底温度，重复测量7次，测定温度（C）为 ，而用某精确办法测定温度为（可看作温度真值），试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差（）？（设热敏电阻测温仪测得的温度总体服从正态分布。（双侧临界值）（10分）解： 检验假设 接受，认为用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。 4、某 装 置 的 平 均 工 作 温 度 据 制 造 厂 讲 是 190。 C ， 今 从 一 个 由 16 台 装 置 构 成 的 随 机 样 本 得 出 的 工 作 温 度 平 均 值 和 标 准 差 分 别 为 195。 C 和 8。 C 。 这 些 数 据 是 否 提 供 了 充 分 证 据 ， 说 明 平 均 工 作 温 度 比 制 造 厂 讲 的 要 高 ？ 取 a = 0.05 ， 可 以 假 定 工 作 温 度 服 从 正 态 分 布 。 ( 已 知 t0.95 ( 15 ) = 1.7531 )解: 这 问 题 即 是 在 a = 0.05 下 ， 检 验 H0： m = m0 =190； H1： m m0 =190 ( s2 末 知 ) 由 于 t = 2.5 1.7531 = t0.95( 15 ) = t1-a ( n-1 ) 故 拒 绝 H0， 即 认 为 该 装 置 的 平 均 工 作 温 度 高 于 190。 C。5、 测 定 某 种 溶 液 中 的 水 份 ，由 它 的 10 个 测 定 值 ，算 得 设 测 定 值 总 体 服 从 正 态 分 布 ，能 否 认 为 该 溶 液 含 水 量 小 于 0.5% ？ ( a = 0.05 )， ( 已 知 t0.95 ( 9 ) = 1.833 ) 解: 这 问 题 即 是 在 ( a = 0.05 ) 下 ， 检 验 假