圆轴的扭转CAI.ppt

1 8 2扭矩 扭矩图 8 1扭转的概念与实例 8 3圆轴扭转时的应力与变形 8 4圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8 5静不定问题和弹塑性问题 第八章圆轴的扭转 返回主目录 2 工程构件分类 杆的基本变形 8 1扭转的概念与实例 返回主目录 3 传动轴 研究对象 圆截面直杆 受力特点 作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶 且满足平衡方程 SMx 0 变形特征 相对扭转角fAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动 8 1扭转的概念与实例 返回主目录 4 扭矩 T是横截面上的内力偶矩 内力 由截面法求得 8 2扭矩与扭矩图 返回主目录 5 6 扭矩的符号规定 按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向 扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正 反之为负 7 以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置 以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值 即得到扭矩图 画扭矩图 8 简捷画法 在左端取参考正向 按载荷大小画水平线 遇集中载荷作用则内力相应增减 至右端回到零 FN图 轴力 T图 9 解 由功率 转速关系计算外力偶矩 例某传动轴如图 转速n 700r min 主动轮的输入功率为PA 400kW 从动轮B C和D的输出功率分别为PB PC 120kW PD 160kW 试作轴的扭矩图 10 最大扭矩在AB段 且 求各截面内力 BC段 CA段 AD段 11 简捷画法 T图 12 讨论 试作扭矩图 T图 求反力偶 T图 返回主目录 13 变形体静力学的基本研究思路 1 变形几何条件 刚性平面假设 变形前后 扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面 二平面间距离不变 其半径仍然保持为直线且半径大小不变 8 3 1圆轴扭转的应力公式 8 3圆轴扭转时的应力与变形 返回主目录 14 取长为dx的微段研究 在扭矩作用下 右端面刚性转动角df 原来的方形ABCD变成为菱形ABC D 1 变形几何条件 g是微元的直角改变量 即半径r各处的剪应变 因为CC gdx rdf 故有 df dx 称为单位扭转角 对半径为r的其它各处 可作类似的分析 15 1 变形几何条件 对半径为r的其它各处 作类似的分析 同样有 CC gdx rd 16 2 物理关系 材料的应力 应变关系 材料的切应力与切应变之间有与拉压类似的关系 17 讨论 圆轴扭转时横截面上的切应力分布 圆轴几何及T给定 d dx为常数 G是材料常数 3 最大切应力在圆轴表面处 截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离r成正比 切应变在ABCD面内 故切应力与半径垂直 指向由截面扭矩方向确定 18 3 力的平衡关系 应力是内力 扭矩 在微截面上的分布集度 各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等 取微面积如图 有 3 利用 3 式 得到 19 3 力的平衡关系 令 IP称为截面对圆心的极惯性矩 只与截面几何相关 tmax在圆轴表面处 且 求IP WT 20 8 3 2圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量 讨论内径d 外径D的空心圆截面 取微面积dA 2prdr 则有 a d D 21 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量 空心圆轴 22 研究思路 23 结论 1 圆轴扭转时 横截面上只有切应力 切应力在横截面上线性分布 垂直与半径 指向由扭矩的转向确定 2 截面任一处截面外圆周处 表面 tr T r IPtmax T WT 24 讨论 2 下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确 1 已知二轴长度及所受外力矩完全相同 若二轴截面尺寸不同 其扭矩图相同否 若二轴材料不同 截面尺寸相同 各段应力是否相同 变形是否相同 相同 相同 不同 25 8 3 3扭转圆轴任一点的应力状态 研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元 左右两边为横截面 上下两边为过轴线的径向面 A A的平衡 SMC F t dxdy tdydx 0 t t 切应力互等定理 物体内任一点处两相互垂直的截面上 切应力总是同时存在的 它们大小相等 方向是共同指向或背离两截面的交线 26 tdx t45 dx cos45 cos45 s45 dx cos45 sin45 0 8 3 3扭转圆轴任一点的应力状态 纯切应力状态等价于转过45 后微元的二向等值拉压应力状态 纯切应力状态 微元各面只有切应力作用 45 斜截面上的应力 还有 s 45 t t 45 0 tdx t45 dx cos45 sin45 s45 dx cos45 cos45 0 解得 s45 t t45 0 一些脆性材料 例如粉笔 铸铁等 承受扭转作用时发生沿轴线45 方向的破坏 就是由此拉应力控制的 27 8 3 4圆轴的扭转变形 单位扭转角为 若扭矩 材料 截面尺寸改变 则需分段求解 28 例2 空心圆轴如图 已知MA 150N m MB 50N mMC 100N m 材料G 80GPa 试求 1 轴内的最大切应力 2 C截面相对A截面的扭转角 解 1 画扭矩图 2 计算各段应力 AB段 N mm MPa单位制 29 2 计算各段应力 BC段 故tmax 86 7MPa N mm MPa单位制 30 思考题 8 2 8 3习题 8 1 b c 8 2 返回主目录 31 拉压 ss n 延 sb n 脆 max 1 强度条件 8 4圆轴扭转的强度条件和刚度条件 返回主目录 32 轴AB间的相对扭转角为 AB TL GIP 扭转圆轴必须满足强度条件 以保证不破坏 另一方面 轴类零件若变形过大 则不能正常工作 即还须满足刚度条件 单位长度的扭转角为 q AB L T GIP 扭转刚度条件则为 qmax q 许用扭转角 机械设计手册建议 q 0 25 0 5 m 精度高的轴 q 0 5 1 0 m 一般传动轴 2 刚度条件 33 扭转圆轴的设计计算 强度 刚度校核 确定许用载荷 扭矩 设计轴的几何尺寸 34 解 1 画扭矩图 例4 实心圆轴如图 已知MB MC 1 64kN m MD 2 18kN m材料G 80GPa t 40MPa q 1 m 试设计轴的直径 最大扭矩在AB段 且 N m Pa单位制 35 2 按刚度设计 有 同时满足强度与刚度要求 则应取取大者 36 讨论 若取a 0 5 试设计空心圆轴尺寸 重量比 重量减轻25 尺寸略大一点 37 例5 联轴节如图 轴径D 100mm 四个直径d 20mm的螺栓对称置于D1 320mm的圆周上 t 12mm 若 80MPa bs 120MPa 试确定许用的扭矩T 38 2 考虑螺栓剪切强度 FS d2 4 有 FS d2 4 25 12kN 2 考虑螺栓挤压强度 bs Fbs Abs Fbs td bs 有 Fbs td bs 28 8kN T min Ti 15 7kN m 由平衡条件有4FS D1 2 TT剪 4FS D1 2 4 25 12 0 16 16 1kN m 由平衡条件有 4Fbs D1 2 T故T挤 4 28 8 0 16 18 4kN m 返回主目录 39 求解变形体静力学问题的基本方程 力的平衡方程 材料的物理方程和变形几何方程 静不定问题有多余的变形约束 弹塑性问题物理方程不同 8 5静不定问题和弹塑性问题 返回主目录 40 例6两端固定的圆截面杆AB 在C截面处受外力偶MC作用 试求两固定端的支反力偶矩 解 静力平衡方程 MC MA MB 1 物理方程 力 变形关系 AC MAa GIP CB MBb GIP 3 几何方程 AB AC CB 0 2 41 例7空心圆轴承受扭转作用 材料服从理想弹塑性切应力 切应变关系 试估计轴开始发生屈服时的扭矩Ts 及轴可承受的最大扭矩TU 解 解 1 弹性阶段 T Ts 剪切胡克定律成立 有t Gg 2 开始屈服 T Ts 此时有 tmax Ts WT ts 已知截面切应力分布 且有 tmax T WT T pD3 1 a4 16 42 3 屈服阶段 T Ts 对于理想弹塑性材料 已经屈服的部分材料承担的载荷不再进一步增加 t ts 随着扭矩的进一步增大 截面上的切应力由外向内逐渐进入屈服 未屈服的弹性材料部分 切应力仍呈线性分布 T Ts tmax ts 43 对于实心圆轴 a 0 则有 屈服扭矩 极限扭矩 极限扭矩与屈服扭矩之比为 TU TS 4 3 4 塑性极限扭矩 T TU