实践应用性问题第39课几何应用性问题.ppt

第39课几何应用性问题 几何应用题的形式有长度 面积 体积 角度以及三角函数的计算 还有方案设计等 基本解法 先根据题目已知条件准确画出图形 把生活情景的问题转化为数学问题 再运用几何计算中的一些基本方法予以解决 要点梳理 1 解图形与几何应用题策略首先要阅读材料 理解题意 找到考查的主要内容和知识点 揭示实际问题的数学本质 把实际问题转化成数学问题 然后应用相应的知识来解决问题 2 用代数方法解几何应用题熟悉相关的知识 注意积累生活经验 灵活运用掌握的有关图形与几何知识 将实际问题转化为数学问题 几何题中求线段的长度和求某一个角的度数 往往借用方程的思想方法来解决 难点正本疑点清源 1 2011 济宁 在一次夏令营活动中 小霞同学从营地A点出发 要到距离A点1000m的C地去 先沿北偏东70 方向到达B地 然后再沿北偏西20 方向走了500m到达目的地C 此时小霞在营地A的 A 北偏东20 方向上B 北偏东30 方向上C 北偏东40 方向上D 北偏西30 方向上 基础自测 C 解析 如图 AD BE 则 DAB ABE 180 又 DAB 70 EBC 20 所以 ABC 90 在Rt ABC中 AC 1000 BC 500 则 BAC 30 DAC 70 30 40 故在北偏东40 方向上 2 在同一时刻 身高1 6米的小强在阳光下的影长为0 8米 一棵大树的影长为4 8米 则树的高度为 A 4 8米B 4 6米C 9 6米D 10米解析 根据相似比 得 x 9 6 应选C C 3 如图 农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚 如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分 那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 A 64 m2B 68 m2C 78 m2D 80 m2解析 将大棚圆柱展开 可知是一个矩形和两个半圆 所以大棚面积 32 2 22 68 B 4 2010 广州 长方体的主视图与俯视图如图所示 则这个长方体的体积是 A 52B 32C 24D 9解析 由主视图可知 这个长方体的长和高分别为4和3 由俯视图可知 这个长方体的长和宽分别是4和2 因此这个长方体的体积为4 2 3 24 C 5 如图 某公园的一座石拱桥是圆弧形 劣弧 其跨度为24米 拱的半径为13米 则拱高为 A 5米B 8米C 7米D 5米解析 设圆心为O 连OA OD 在Rt AOD中 OA 13 AD 12 OD 5 CD 13 5 8 应选B B 题型一有关长度 面积问题 例1 小王购买了一套经济适用房 他准备将地面铺上地砖 地面结构如图所示 根据图中的数据 单位 m 解答下列问题 1 用含x y的代数式表示地面总面积 2 已知客厅面积比卫生间面积多21m2 且地面总面积是卫生间面积的15倍 若铺1m2地砖的平均费用为80元 那么铺地砖的总费用为多少元 题型分类深度剖析 解 1 S 6x 3 2 4 3 2y 6x 2y 18 2 解之 得 总费用 6 4 2 1 5 18 80 3600 元 探究提高适当分割 将图形转化为便于求长度 面积的几何图形 知能迁移1 2010 江西 图 是一张长与宽不相等的矩形纸片 同学们都知道按图 所示的折叠方法可以裁剪出一个正方形纸片和一个矩形纸片 如图 1 实验 将两纸片分别按图 所示的折叠方法进行 请你分析在图 的最右边的图形中用虚线画出折痕 并顺次连接每条折痕的端点 所围成的四边形分别是什么四边形 2 当原矩形纸片的AB 4 BC 6时 分别求出 1 中连接折痕各端点所得四边形的面积 并求出它们的面积比 3 当纸片ABCD的长和宽满足怎样的数量关系时先后得到的两个四边形的面积比等于 2 所得到的两个四边形的面积比 4 用 2 中所得到的两张纸片 分别裁剪出那两个四边形 用剩下的8张纸片拼出两个周长不相等的等腰梯形 用图表示并标明主要数据 分别求出两个梯形的周长 解 1 图 所示的是正方形 图 所示的是菱形 2 S正方形NMPQ S正方形ABEF 4 4 8 S菱形NMPQ S矩形FEBC 2 4 4 S正方形NMPQ S菱形NMPQ 2 1 3 设AB a BC b 则S正方形 a2 S菱形 a b a ab a2 要使S正方形 2S菱形 需a2 2 ab a2 3a2 2ab a 0 3a 2ba 4 如图所示 两个等腰梯形周长分别是6 2 6 4 题型二解直角三角形的应用 例2 如图 A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处 并以每小时10千米的速度向北偏东60 的BF方向移动 距台风中心200千米的范围内是受台风影响的区域 1 A城是否受到这次台风的影响 为什么 2 若A城受到这次台风的影响 那么A城遭受这次台风影响的时间有多长 解 1 过A画AC BF于C 在Rt ABC中 ABC 30 AB 300 AC AB 150 200 A城受到这次台风的影响 2 以A为圆心 200千米为半径画弧 交BF于D E两点 在Rt ACD中 AD 200 AC 150 CD 50 DE 2CD 100 A城遭受这次台风影响的时间是 10小时 探究提高解直角三角形在实际中有广泛的应用 其解题思路是 弄清题中名词术语的意义 然后根据题意画出几何图形 建立数学模型 将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中各元素之间的关系 知能迁移2 1 2011 武汉 如图 铁路MN和公路PQ在点O处交汇 QON 30 公路PQ上A处距离O点240米 如果火车行驶时 周围200米以内会受到噪音的影响 那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米 时的速度行驶时 A处受噪音影响的时间为 A 12秒B 16秒C 20秒D 24秒 解析 如下图 以点A为圆心 200米长为半径画弧 交MN于点B C 画AD MN于点D 在Rt AOD中 QON 30 OA 240 所以AD 120 在Rt ABD中 AB 200 所以BD 160 又CD BD 所以BC 320 故时间t 16秒 2 2011 绍兴 为倡导 低碳生活 常选择以自行车作为代步工具 如图1所示是一辆自行车的实物图 车架档AC与CD的长分别为45cm 60cm 且它们相互垂直 座杆CE的长为20cm 点A C E在同一条直线上 且 CAB 75 如图2 求车架档AD的长 求车座点E到车架档AB的距离 结果精确到1cm 参考数据 sin75 0 9659 cos75 0 2588 tan75 3 7321 解 AD 75cm 车档架AD的长为75cm 过点E作EF AB 垂足为点F 距离EF AE sin75 45 20 sin75 62 7835 63cm 车座点E到车档架AB的距离是63cm 题型三利用三角函数进行图形计算 例3 2010 潍坊 路边路灯的灯柱BC垂直于地面 灯杆BA的长为2米 灯杆与灯柱BC成120 角 锥形灯罩折轴线AD与灯杆AB垂直 且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线 D在中心线上 已知C与点D之间的距离为12米 求灯柱BC的高 结果保留根号 解题示范 规范步骤 该得的分 一分不丢 解 设灯柱BC的长为h米 过点A作AH CD于点H 过点B做BE AH于点E 四边形BCHE为矩形 ABC 120 ABE 30 又 BAD BCD 90 ADC 60 在Rt AEB中 AE AB sin30 1 BE AB cos30 4分 CH 又CD 12 DH 12 在Rt AHD中 tan ADH 8分 解得 h 12 4 米 灯柱BC的高为 12 4 米 10分 探究提高当有些图形不是直角三角形时 可适当添加辅助线 把它们分割成直角三角形 把实际问题中的数量关系归结为直角三角形中各元素之间的关系 知能迁移3如图 小明想测量塔BC的高度 他在楼底A处测得塔顶B的仰角为60 爬到楼顶D处测得大楼AD的高度为18米 同时测得塔顶B的仰角为30 求塔BC的高度 解 如图 BAC 60 BDE 30 在Rt ABC中 ABC 30 在Rt BDE中 DBE 60 DAB 30 DBA 30 DAB DBA DA DB 18 BE 9 塔BC的高度BC BE EC 9 18 27 米 题型四几何图形设计 例4 2011 衢州 ABC是一张等腰直角三角形纸板 C Rt AC BC 2 1 要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形 有甲 乙两种剪法 如图1 比较甲 乙两种剪法 哪种剪法所得的正方形面积更大 请说明理由 2 图1中甲种剪法称为第1次剪取 记所得的正方形面积为S1 按照甲种剪法 在余下的 ADE和 BDF中 分别剪取正方形 得到两个相同的正方形 称为第2次剪取 并记这两个正方形面积和为S2 如图2 则S2 再在余下的四个三角形中 用同样的方法分别剪取正方形 得到四个相同的正方形 称为第3次剪取 并记这四个正方形的面积和为S3 如图3 继续操作下去 则第10次剪取时 S10 3 求第10次剪取后 余下的所有小三角形的面积和 解 1 解法一 如图甲 由题意得AE DE EC 即EC 1 S正方形CFDE 1 如图乙 设MN x 则由题意 得AM MQ PN NB MN x 3x 2 解得x S正方形PNMQ 2 又 1 甲种剪法所得的正方形的面积更大 说明 图甲可另解 由题意得点D E F分别为AB AC BC的中点 S正方形CFDE S ABC 1 解法二 如图甲 由题意得AE DE EC 即EC 1 如图乙 设MN x 则由题意得AM MQ QP PN NB MN x 3x 2 解得x 又 1 即EC MN 甲种剪法所得的正方形的面积更大 2 S2 S10 3 解法一 探索规律可知 Sn 剩余三角形的面积和为 2 2 解法二 由题意可知 第一次剪取后剩余三角形面积和为2 S1 1 S1 第二次剪取后剩余三角形面积和为S1 S2 1 S2 第三次剪取后剩余三角形面积和为S2 S3 S3 第十次剪取后剩余三角形面积和为S9 S10 S10 探究提高根据题意 画出符合题意的各种图形 再逐一用相应的几何知识解答 知能迁移4在一服装厂里有大量形状为等腰三角形的边角布料 如图 现找出其中的一种 测得 C 90 AC BC 4 今要从这种三角形中剪出一种扇形 做成不同形状的玩具 使扇形的边缘半径恰好都在 ABC的边上 且扇形与 ABC的其他边相切 请设计出所有可能符合题意的方案示意图 并求出扇形的半径 只要求画出图形 并直接写出扇形半径 解 半径为2半径为4半径为4半径为4 4 27 证明三角形相似缺乏条理试题如图 DE AB EF BC AF 5cm FB 3cm CD 2cm 求BD的长 学生答案展示 EF BC AFE ABC 又 DE AB CDE CBA AF 5 FB 3 CD 2 BC BD 易错警示 剖析在 中 这是思路不清产生的错误 由于所求线段不是三角形的边长 无法直接确定相似三角形 同时已知线段与所求线段无直接关联 这就需要改造条件 由DE AB EF BC 可以得到四边形FBDE是平行四边形 这样BF DE EF BD 通过证相似能顺利求解 正解 EF BC DE AB 四边形FBDE是平行四边形 BF DE EF BD 又 EF BC AFE B AEF C DE AB EDC B AEF EDC AFE EDC 即 EF 即BD EF cm 批阅笔记用相似形知识解题时 易出现对应关系混乱 定理应用错误的现象 要加强识图能力 联想能力 综合应用能力的训练 找准相似中对应角和对应边 排除交叉图形的干扰 以免造成错觉 方法与技巧1 几何应用性问题的解题策略是 将实际问题几何化 从实际问题中抽象出基本几何图形