结构动力学第二章.ppt

结构动力学第2章单自由度系统振动 天津大学建筑工程学院船舶工程系 单自由度系统 振动系统任意时刻的空间位置只需一个独立几何参数表达 2 1运动方程的建立一 运动模型 1 从实际物体抽象出来的运动模型 单点系泊系统力学模型 自升式平台 2 符号模型 上下运动水平运动 y 分别表示质量 刚度和阻尼 即 二 受力分析 建立运动方程 直接平衡法 虚位移原理 如果一个平衡体系在一组力的作用下发生虚位移 则这些力所做的总功将等于零 例题2 1 应用直接平衡法建立系统的运动方程 图2 1 a 图2 1 b 总结 1 直接平衡法建立运动方程的步骤 建立坐标系 确定坐标原点 受力分析 施加弹性恢复力 阻尼力 惯性力 建立方程 力平衡方程 建立运动方程时坐标原点的选择放在结构的静平衡位置 不需要考虑重力 结果的位移为动位移 总的位移 静位移 动位移 2 运动方程的统一形式 例题2 2 虚位移原理建立振动方程 系统由两根刚性杆组成 两根杆用铰D连接在一起 AD杆单位长度的质量为 不计DB杆的质量 DB杆的中点有质量m 建立振动微分方程 这些带 的符号分别称为 广义质量 广义阻尼 广义刚度和广义荷载 或者称为等效质量 等效阻尼 等效刚度和等效荷载 上式可进一步写为 其中 3 振动系统三个重要的力 惯性力阻尼力弹性恢复力 4 振动体系的动力学参数m 质量c 阻尼系数k 刚度系数 简支梁 对梁中点施加单位力产生的变形为 悬臂梁刚度 例题2 3悬臂梁振动系统如图所示 建立振动微分方程 梁的刚度EI为常数 长为L 不计梁的质量 假定质量为m仅发生垂向运动 阻尼系数为c 弹簧刚度为 m 梁的刚度EI为常数 长为L 不计梁的质量 假定质量为m仅发生垂向运动 阻尼系数为c 弹簧刚度为 例题2 4悬臂梁振动系统如图所示 建立振动微分方程 如果两个弹簧的刚度分别为 则等效刚度分别为 串联 并联 弹簧并联 弹簧串联 2 2无阻尼系统自由振动分析一 固有频率和振动形式 运动方程 记 系统固有频率 设特解的形式为 式称为振型函数 包含三个重要参数 振幅A 振动系统的质量离开平衡位置的最大距离 固有频率 描述振动的快慢 圆频率 单位为rad s 表示2 内振动的次数 相位 无阻尼系统自由振动响应的特点为简谐响应 振动频率 振动的幅值 相位 自由振动 给系统一定的能量后 系统在振动过程中 不存在任何干扰 固有频率 指结构体系在2 内振动的次数 圆频率 单位为rad s 与初始条件无关 只与结构体系的刚度和质量有关 若 0 则振动的位移 速度 加速度之间的关系为 位移为零时 即位移为零 速度最大 即位移为零 加速度为零 位移最大时 即位移最大 速度为零 即位移最大 加速度最大 结论 速度的相位比位移相位超前 加速度的相位比速度的相位超前 位移为零时 加速度也为零 但速度值最大 位移最大时 速度为零 加速度最大 加速度大小和位移成正比 但其方向总是与位移相反 即始终指向平衡位置 特点 只和系统的质量 刚度有关 与外激励无关 固有频率 复习 无阻尼系统自由振动响应的特点为简谐响应 振动频率 振动的幅值 相位 二 固有频率的计算 1 基本公式 例题2 5梁的长度为L 刚度为EI 梁中点处电动机的质量为m 发生垂向振动 忽略梁的质量 求梁 电机系统的固有振动频率 例题2 6悬臂梁系统 求系统固有频率 梁的刚度EI为常数 长为L 不计梁的质量 假定质量为m仅发生垂向运动 阻尼系数为c 弹簧刚度为 m 2 建立运动方程 求固有频率 m 3 静伸长法求固有频率 4 能量法求固有频率对于没有阻尼的理想振动系统 在振动过程中 没有能量消耗 动能和势能之和保持为常数 即 对于质量弹簧系统 其动能和势能分别为 令最大动能等于最大势能 可以求出固有频率 为求固有频率 关键是写出振动系统的最大动能和最大势能 有 等效刚度 等效质量 2 3有阻尼系统自由振动分析 有阻尼系统自由振动的方程为 称为阻尼比 单位为 即 没有量纲 所以 称为无量纲阻尼比 记 b 有阻尼固有频率 临界阻尼情况 令 采用特征根法解方程 b 有 其中由初始时刻的状态决定 运动仅在水平轴的一侧发生 不具有振动的特性 振动 体系在平衡位置附近的往复运动 临界阻尼系数 大阻尼情况 方程的解y t 同样不具有振动的特性 c 小阻尼情况 设t 0时有 其中 其中 画出曲线如下 振动位移随时间的变化 小阻尼系统振动响应的特点 系统为衰减振动 振动幅值随时间延长逐渐减小 最终振动会停止 以一定的固有频率振动 有阻尼自由振动响应 其中 二 阻尼比的工程测试方法 对结构系统激振 结构进入自由振动状态 记录下衰减振动曲线 设隔一个周期的两个位移峰值分别为 两边取对数 对于空气中的钢结构 阻尼比水中钢结构 海洋桩基平台船体结构振动 因为阻尼比对固有频率影响小 可近似认为 用间隔N个周期的位移峰值计算对数衰减率 如果利用间隔N个周期的振幅之比来计算对数衰减率 则可得到N个周期振幅对数衰减率的平均值 从而可以得到更接近振动系统实际的阻尼比 例题某船测得由波浪拍击激起的垂向总振动衰减曲线 其幅值在第20个周期后由8个小格减小至2个小格 记录用米格纸 计算该船垂向总振动幅值的对数衰减率和阻尼比 解 根据以知条件 强迫振动 指结构体系在外界干扰因素作用下 被迫产生的振动 2 4简谐载荷作用下的动力响应一 概念 干扰因素 1 简谐的干扰因素 荷载随时间的变化规律可以由正弦或者余弦函数来表达 2 周期干扰因素 载荷随时间的变化规律可以由周期函数表达 二 振动响应振动微分方程为 激励 或干扰 频率 是圆频率 固有频率 无量纲阻尼比 振动方程的解可以分为齐次解和特解 其通解为 齐次解 特解 齐次解即有阻尼系统自由振动形式的解 小阻尼情形 根据微分方程理论 设特解为 见微分方程教程 找出sin t和cos t的系数 解得 迭加齐次解和特解得通解 得到系统的解为 为由初始条件确定的常数 已知初始条件 求常数 代入初始条件 自由振动项 与初始条件有关 强迫振动项 伴随振动项 与干扰力频率有关 强迫振动项 与干扰力有关 以干扰力的频率振动 振幅不随着时间推移而减小 又称稳态振动项 自由振动项 其幅值中含有幅值随着时间不断减小 直至消失 伴随振动项 与激励频率 有关 振动幅值中也含有幅值随着时间不断减小 直至消失 结构振动进入稳态后 只表现为 的振动 自由振动项 伴随振动项 强迫振动项 暂态振动或过度振动状态 消失 稳态振动项 三 简谐激励系统稳态响应特点 响应方程 1 振动频率 以外激励的频率振动 动力放大系数 动荷载幅值作用引起的静位移 3 相位 2 振动幅值 频率比 四 幅频响应特性 动力放大系数 幅频响应曲线 幅频响应曲线 当 动力放大系数变得无限大 称之为严格共振 1 幅频响应曲线的特点 动力放大系数 2 有阻尼情况 动力响应显著放大 共振 对于有阻尼系统 干扰频率接近或等于固有频率时 振动系统动力响应显著放大的效应 解得 有 若 有 显然 在共振区域 增大阻尼可以显著减小振动响应 3 令 4 相位 表示干扰和响应发生的时间差 五 相频响应特性 相频特性曲