必修四三角函数模型的简单应用(附答案).doc

三角函数模型的简单应用学习目标1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.实际问题抽象为三角函数模型知识点一利用三角函数模型解释自然现象在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析思考1三角函数的周期性yAsin(x) (0)的周期是T；yAcos(x) (0)的周期是T；yAtan(x) (0)的周期是T.思考2如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b.根据图象可知，一天中的温差是；这段曲线的函数解析式是y 答案2010sin(x)20，x6,14知识点二三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数yAsin(x)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数题型一三角函数模型在物理中的应用例1已知电流I与时间t的关系为IAsin(t)(1)如图所示的是IAsin(t)(0，|)在一个周期内的图象，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流IAsin(t)都能取得最大值和最小值，那么的最小正整数值是多少？解(1)由图知A300，设t1，t2，则周期T2(t2t1)2.150.又当t时，I0，即sin0，而|0)，300942，又N*，故所求最小正整数943.跟踪训练1一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是：S6sin(2t)(1)画出它的图象；(2)回答以下问题：小球开始摆动(即t0)，离开平衡位置是多少？小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？小球来回摆动一次需要多少时间？解(1)周期T1(s)列表：t012t226sin(2t)360603描点画图：(2)小球开始摆动(t0)，离开平衡位置为3 cm.小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.小球来回摆动一次需要1 s(即周期)题型二三角函数模型在生活中的应用例2某港口水深y(米)是时间t (0t24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(小时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型yAsin tB的图象(1)试根据数据表和曲线，求出yAsin tB的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)解(1)从拟合的曲线可知，函数yAsin tB的一个周期为12小时，因此.又ymin7，ymax13，A(ymaxymin)3，B(ymaxymin)10.函数的解析式为y3sint10 (0t24)(2)由题意，得水深y4.57，即y3sint1011.5，t0,24，sint，t，k0,1，t1,5或t13,17，所以，该船在100至500或1300至1700能安全进港若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时跟踪训练2如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动角到OB，设B点与地面距离为h.(1)求h与之间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少？解(1)以圆心O为原点，建立如图所示的坐标系，则以Ox为始边，OB为终边的角为.故B点坐标为(4.8cos()，4.8sin()h5.64.8sin()，0，)(2)点A在圆上转动的角速度是，故t秒转过的弧度数为t，h5.64.8sin(t)，t0，)到达最高点时，h10.4 m.由sin(t)1.得t，t30.缆车到达最高点时，用的时间最少为30秒利用三角函数线证明三角不等式例3心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)11525sin(160t)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数P(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较分析(1)利用周期公式可以求出函数P(t)的周期；(2)每分钟心跳的次数即频率；(3)用“五点法”作出函数的简图；(4)此人的收缩压、舒张分别是函数P(t)的最大值和最小值，故可求出此人的血压在血压计上的计数解(1)由于160，代入周期公式T，可得T(min)，所以函数P(t)的周期为 min.(2)函数P(t)的频率f80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t/min0P(t)/mmHg11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示(4)此人的收缩压为11525140(mmHg)，舒张压为1152590(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高1函数y|sin x|的最小正周期为()A2 B C4 D.2一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l cm.3某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos (x1,2,3，12，A0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为 .4如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.一、选择题1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s6sin(100t)，那么单摆来回摆一次所需的时间为()A. s B. s C50 s D100 s2电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin(100t)，则当t s时，电流强度I为()A5 A B2.5 A C2 A D5 A3.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致是() 4电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)(A0，0,00，0,00)，f()f()，且f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，则 .三、解答题10.如图所示，某地夏天从814时的用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(0)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式11.如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？12已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作：yf(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求函数yAcos tb的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午800时至晚上2000时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？当堂检测答案1答案A2答案解析T1， 2，l.3答案20.5解析由题意得y235cos，当x10时，y23520.5.4解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0)(2)由10sint1217，得sint，则t. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.课时精练答案一、选择题1.答案A2答案B解析当t时，I5sin()5cos 2.5.3.答案C解析df(l)2sin .4答案A解析由图象知A10，100，I10sin(100t)(，10)为五点中的第二个点，100.，I10sin(100t)，当t秒时，I5安5答案C解析P0(，)，P0Ox，按逆时针转时间t后得POP0t，POxt，此时P点纵坐标为2sin(t)，d2|sin(t)|.当t0时，d，排除A、D；当t时，d0，排除B.二、填空题6答案26,27,28解析T，又，8m9，且mZ，m26,27,28.7.答案解析取K，L中点N，则MN，因此A.由T2得.函数为偶函数，0，f(x)cos x，f()cos .8答案10sin 解析将解析式可写为dAsin(t)的形式，由题意易知A10，当t0时，d0，得0；当t30时，d10，可得，所以d10sin .9答案解析依题意，x时，y有最小值，sin()1，2k(kZ)8k(kZ)，因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，所以，即12，令k0，得.三、解答题10.解(1)最大用电量为50万kWh，最