数量积向量积混合积.ppt

第二节数量积向量积混合积 一两向量的数量积 1 常力的功 在物理中我们知道 一物体受常力作用下沿直线从M1移动 到M2 S是它位移 则力F所做的功为 根据这个定义 上面讲的功W是力F和位移S的数量积 w F S 功是个数量 它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角 的余弦 2 数量积的定义 定义1 对任意两个向量a b 数 a b的数量积 记作a b 即 称为向量 3 数量积的主要性质 3 即向量a和b相互垂直 因为a b a b cos a b a 0 b 0 使a b 0只能cos a b 0 零向量 2 a b 0是向量a和b垂直的充分必要条件 这里a b为非 所以a b a prjab同理 a b b prjba 所以上式成立 b cos a b 是b在a上的投影 即 b cos a b prjab 因为a b a b cos a b b a cos b a b a 1 a b a Prjab b Prjba 4 数量积的运算律 5 数量积的坐标表示式 设 根据数量积的运算律 有 3 与实数相乘的结合律 a b a b a b 证明 a b C C Prjc a b C Prjca C Prjcb a c b c 2 分配律 a b C a C b C 证明 由投影定理a b a Prjab a b cos b a b Prjba b a 1 交换律a b b a 在就是两个向量数量积的坐标表示式 当a b为非零向量时 有公式 由此可见 两个向量垂直的充要条件是 例1求向量a 5 2 5 在向量b 2 1 2 上的投影 解 因为a b b Prjba 所以 解 例2已知三点M1 2 2 2 M2 4 4 2 M3 4 2 4 求向量M1M2 M1M3的夹角 例3试利用向量的数量积证明三角形 由图可见c a b c2 a b 2 a2 2a b b2 用向量的数量积证明余弦定理比中学里简单 二 两向量的向量积 a2 b2 2 a b cos 即c2 a2 b2 2 a b cos 的余弦定理 1 引例转动力矩 向量 M 力臂 力F 方向由转动 法则 2 a b垂直于a和b 其指向使三个向量a b和a b符合右手 1 a b a b sin a b 定义2两个向量a和b的向量积是一个向量 记作a b 并规定 2 向量积的定义 大拇指的指向 即当右手的四指从op以不超过 的角转向F时握拳时 M的方向垂直于op与力F决定的平面 其指向按右手规则 M F op sin 方向决定 在力学中 规定力F对支点o的力矩M为 模 a b 的几何意义为以a b为相邻两边的平行四边形 的面积 3 向量积的主要性质 由向量积的定义可以得到如下的性质 根据这个定义 上面的力矩M是op与F的向量积 即M op F 反之 如果a b则 a b 0或为 即a b 0 1 a a 0因为 a a a a sin0 0 2 对于两个非零向量a b a和b平行的充分必要条件是 a b 0 因为a b 0 且 a 0 b 0 必定有sin a b 0 即 a b 0 或为 a b 时要特别注意 4 向量积的运算规则 1 b a a b 这是因为按右手法则 从b转向a和从a转向 b定出的方向相反 它表明交换律对向量积不成立 我们在运算 b a b 设a axi ayj azk b bxi byj bzk 根据向量积的运算规则 有 2 分配律 a b c a c b c 3 向量积还符合如下的结合律 设 是个数 则 a b a 5 向量积的坐标表示式 由向量积的主要性质及运算规则 1 可知 为了便于记忆 把上式写成行列式形式 如果两个向量a和b互相平行 相当于sin a b 0 或a b 0 有 也可以把它写成展开的形式 或者 在bx by bz都不等于零时 等式 2 和等式 1 具有相同的意义 例4设a 3i j 2k b i 2j k 求a b 解 二个为零时 可把 2 看为 1 的简便写法 例如我们把等式 但形式上等式 2 比等式 1 简单 在bx by bz中有一个或者有 例5已知三角形ABC的顶点是 以AB AC为邻边作平行四边形 它的面积是 AC AB 三角形ABC的面积是它的1 2 三角形的面积 A 1 2 3 B 3 4 5 C 2 4 7 求该 例6试求以向量a 2i j k和b I 2j k为边的平行四边形的 对角线之间的夹角的正弦 对角线为OD和AB 它们的交点为E 解 我们把向量a b的起点放在坐标原点它们的终点是 A 2 1 1 和B 1 2 1 以O A B为边作平行四边形OBDA 例7设a 1 1 4 b 1 2 2 求b在a方向上的投影向量分析 从而b在a向量方向上的投影为 b在a向量方向上的投影向量为 例8已知AB 3 0 4 AC 5 2 14 求 BAC角平分线上 先求与a同方向的单位向量a0 的单位向量 分析 作等腰三角形AB C AD是BC边上的 所以 BAC角平分线上的单位向量为 AB AC 1的单位向量 中线 也是角平分线 为了方便起见 我们取 a 1 b 2 a b 求平行四边形的面积 分析 平行四边形的面积为 为了求 我们可用向量积的方法求 例9设平行四边形的对角线c a 2b d 3a 4b 其中 例10证明 证明得到解决 例11证明三角形三条高交于一点 证明 作 ABC AD BC BE AC AD与BE 相交于F要证明三条高相交于一点 只要证明FC AB 三 向量的混合积 设已知三个向量a b和c 如果先作两向量a和b的向量积 设a ax ay az b bx by bz c cx cy cz 下面我们来推导三向量的混合积的坐标形式 这样得到的数量叫做三向量a b c的混合积 记作 abc a b 把所得到的向量与第三个向量c再作数量积 a b c 向量的混合积有下述的几何意义 是正的 如果a b c组成左手系 那么混合积是负的 即c的指向按右手规则从a转向b来确定 那么混合积的符号 向量a b c为棱的平行六面体的体积 如果向量a b c组成右手系 向量的混合积 abc 是这样的一个数 它的绝对值表示以 向量积a b f是一个向量 它的模在数值上等于以向量a和 向量b为边的事实上 设OA a OB b OC c按向量积定义 平行四边形OADB的面积 它的方向垂直于这平行四边形 的底是平行四边形 一侧 abc a b c a b c cos 由向量a b c为棱的六面体 的平面 当a b c组成右手系时 向量f和向量c在这平面的同 ADBO 它的面积A在数值上等于 a b 它的高为向量c在f 例11已知不在一平面上的四点 分析 由立体几何可知 四面体的体积为六面体体积的1 6 所以 A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 C x3 y3 z3 D x4 y4 z4 求这四面体 平行六面体的负值 如果a b c组成左手系 则它们的混合积为负的 即 V abc 上的投影的绝对值 即h c cos 所以平行六面体的体积 的体积 上式的符号必须同行列式的符号一致 例