离散时间信号和系统的频域表示.ppt

西北大学信息科学与技术学院2007年 2 4离散时间信号和系统的频域表示 2 4 1线性非时变系统对复指数序列的响应设输入为系统的单位采样响应 求得输出 西北大学信息科学与技术学院2007年 线性非时变系统对复指数序列的响应是一个与输入序列具有相同频率的复指数序列 但输出复指数序列的幅度和相位与输入序列不同 输出幅度等于输入幅度乘以的的幅度 输出的相位等于输入相位加上的相位 上式中 符号arg表示求相位 因此 当一个复指数序列作用到线性非时变系统时 输出的特征完全由的值决定 由系统的所决定 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 4 2频率响应对离散系统 频率响应定义如下 频率响应的物理意义可以解释为 它描述了系统对不同频率的正弦 余弦和复指数序列的响应能力 当输入为正弦 余弦和复指数序列时 输出仍为相同频率的序列 唯一改变的是输出序列的幅度和相位 分别受频率响应的幅度和相位的影响 西北大学信息科学与技术学院2007年 频率响应可以分成幅度和相位两部分 即称作 幅频响应 它刻画了系统对输入幅度的影响 表示了幅度变化的倍数 称作 相频响应 它刻画了系统对输入相位的影响 表示了增加或减小的相位值 西北大学信息科学与技术学院2007年 虽然离散系统和模拟系统的频率响应意义很类似 但要注意的如下特点 虽然讨论的是离散系统 但是 的连续函数 是 的周期函数 周期为2 因此 对频率响应只需考察它的一个周期 即或 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 4 3序列的傅里叶变换第一式称作分析式 表示了序列中不同频率的正弦信号所占比重的相对大小 具有分析作用 第二式表示序列是由不同频率的正弦信号线性叠加构成 具有综合作用 称作综合式 第一式称作傅里叶正变换 第二式称作傅里叶反变换 西北大学信息科学与技术学院2007年 根据级数理论 序列傅里叶变换存在 也就是级数求和收敛的充要条件是即序列是绝对可和的 对系统而言 当它是稳定系统时 系统频率响应是存在的 条件为 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 4 4描述系统输入和输出关系的频域方法设系统输入x n 的傅里叶变换存在 即x n 中的各复指数分量为 它的响应为 根据叠加原理 各分量的响应的叠加 积分 就是总的响应 即 西北大学信息科学与技术学院2007年 所以可得上式就是描述线性非时变系统输入和输出关系的频域表达式 它是卷积关系式在频域的反映 对卷积表达式两边作序列傅里叶变换 容易得到相同的关系式 西北大学信息科学与技术学院2007年 系统时域和频域描述的关系可以表示为符号 表示其左 右两边的式子是一个互逆的过程 该式也称作 时域卷积定理 相应地 还有 频域卷积定理 关系式为或 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 5序列傅里叶变换的对称性质 共轭对称序列xe n 定义为xe n xe n 若xe n 为实序列 则xe n 是偶序列 共轭反对称序列xo n 定义为xo n xo n 若xo n 为实序列 则xo n 是奇序列 西北大学信息科学与技术学院2007年 序列有以下重要的性质 若则 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 6连续时间信号的采样 2 6 1采样的基本概念从原理上说 采样器就是一个开关 通过控制开关的接通和断开来实现信号的采样 它的概念如图2 3所示 西北大学信息科学与技术学院2007年 西北大学信息科学与技术学院2007年 采样在数学上等效为下列运算 式中s t 是一个开关函数 是原信号 是采样后的信号 理想采样情况下 s t 是无限多项单位冲击信号等间隔构成的一个单位冲激串 即式中T是采样间隔 西北大学信息科学与技术学院2007年 则式中 只在时不为零 因而只在这些点上才有定义的值 为 可见采样的结果是使原来的模拟信号变成为在这些点上的离散信号 这就是采样的简单原理 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 6 2采样过程中频谱的变化周期信号 T t 可以进行傅里叶级数展开 如下式 可以求解出式中 是的基波频率 同时也是采样频率 西北大学信息科学与技术学院2007年 令 求得Ak为 T t 等效为因此 西北大学信息科学与技术学院2007年 上式表示是无限多个载波被调制之和 从频域变化来看 的频谱被搬移到无限多个频率点 这些频率点是 所以的频谱就变成了周期函数 周期等于 所以 西北大学信息科学与技术学院2007年 分析上式 xS t 与xa t 的频谱比较 主要的变化是 它的频谱变成了周期的 即是周期函数 周期为 也就是说 离散时间信号的频谱是连续时间信号频谱以采样频率为周期进行无限项周期延拓的结果 这是信号采样带来的最重要的变化 另一点变化是频谱幅度变为原来幅度的1 T 图2 4表示了这种频谱的变化 西北大学信息科学与技术学院2007年 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 6 3低通信号采样定理设xa t 表示一个带限的低通模拟信号 最高频率分量为fmax 它的频谱为Xa j 如图2 5所示 西北大学信息科学与技术学院2007年 对该信号以采样频率fs进行采样 采样后的离散时间信号的频谱Xs j 变成了以fs为周期的周期频谱 显然 在这种情况下 Xs j 和Xa j 包含的信息是相同的 或者说 采样后的离散信号能完全表示原来的模拟信号 若fs 2fmax 这时周期频谱的各周期出现了混叠 造成实际的周期频谱的一个周期不等于原信号的频谱 也就是说 采样以后 信号出现了失真 西北大学信息科学与技术学院2007年 采样定理对一个低通带限信号进行均匀理想采样 如果采样频率大于等于信号最高频率的两倍 采样后的信号可以精确地重建原信号 可以表示为或式中 是信号的最高频率 当时的采样频率为临界采样频率或称为 奈奎斯特采样频率 西北大学信息科学与技术学院2007年 例2 5 模拟信号其中 1 求的周期 采样频率应为多少 采样间隔应为多少 2 若选采样频率 采样间隔为多少 写出采样信号的表达式 西北大学信息科学与技术学院2007年 解 1 由 得的周期为 采样频率应为 采样间隔应为 2 选则采样间隔为 西北大学信息科学与技术学院2007年 所以 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 6 4信号恢复当满足采样定理的条件时 可以推导出从离散时间信号恢复原来的模拟信号的内插公式 先从频域分析入手 已知采样后的信号的频谱在一个周期里可以表示为因此 只要设计一个截止频率为的理想低通滤波器 就可以恢复原信号的频谱 西北大学信息科学与技术学院2007年 设该理想低通滤波器的频率响应为根据模拟系统的频域描述理论 有所以 将等于原信号的频谱 西北大学信息科学与技术学院2007年 设滤波器的单位冲击响应为 西北大学信息科学与技术学院2007年 滤波器的输出为其中称为内插函数 它是一个关于t的连续函数 关于k的离散函数 上式称为信号恢复的内插公式 西北大学信息科学与技术学院2007年 其中有一个重要的特点 在取样点n k时 1 在其他取样点n k 0 即在当前的取样点上 和完全相等 在取样点之间 是由无限多个被相应的采样值作加权系数的线性组合构成 图2 6是这种过程的示意图 西北大学信息科学与技术学院2007年 西北大学信息科学与技术学院2007年 2 6 5窄带信号采样定理所谓窄带信号就是信号带宽远远小于它的中心频率的信号 设窄带信号的数学模型为其中 是低频信号 其最高频率远远小于 它们通常携带有信息 分别被调制在频率为的载波的幅度和相位上 西北大学信息科学与技术学院2007年 当信号的最高频率是带宽的整数