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文档简介

2016年全国高中数学联赛安徽省初赛试题及答案一、填空题（每小题8分）1.设，则 答案：解答：由，可得故从而2.设为虚数单位，化简 答案：解答：由，可得同理，故另解：因为所以，3.已知等差数列的前100项之和为100，最后100项之和为1000，则 答案：解答：设等差数列的公差是，则有由此得， 4.集合共有 几个元素，其中表示不超过的最大整数答案：解答：设，则有当时，的所有可能的值为因此，的值域，共有个元素5.若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是 答案：解答：设，则当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，因此，有三个实根当且仅当7.已知抛物线以椭圆的中心为焦点，经过的两个焦点，并且与恰有三个交点，则的离心率等于 答案：解答：不妨设的方程是其中由经过的两个焦点，可得的方程是其中再由与恰有三个交点，得因此，的离心率另解：不妨设椭圆的方程为由题意易得抛物线以轴为对称轴，顶点位于椭圆的短轴端点处 不妨设抛物线的开口向上，故可设抛物线的方程为因为抛物线经过椭圆的焦点，故其中解得故抛物线的方程为因该抛物线焦点到顶点的距离为，故代入，得8.等可能地随机产生一个正整数，则在二进制下的各位数字之和不超过的概率等于 答案：解答：设的二进制表示是，即，其中特别，的二进制表示是我们考察满足的的个数，其充分必要条件是且如此的个数从而二进制下各位数字之和不超过的的个数为因此，所求的概率二、解答题9.已知数列满足用数学归纳法证明：证明：，从而对成立当时，假设，下证由递推公式，有因此，对一切成立注：如不用数学归纳法证明且证明正确，只给一半分（11分）10.设的内切圆与三边相切于点证明：与相似当且仅当是在三角形证明：如图，设是的内心，则同理，不妨设，则从而，与相似11证明：对任意实数都有，并求等号成立的充分必要条件证法一 设向量，则，根据三角不等式，即得所要证的不等式不等式等号成立的充分必要条件是与平行且方向相同与平行当时，不等式等号成立；当时，不等号恒成立综上，不等式等号成立的充分必要条件是“且”或证法二 （两边平分）（移项、合并）（两边平方）（展开）（移项、合并）不等式等号成立的必要条件是关于充分条件的讨论同证法一12.求满足的所有正整数对解答：首先证明两个引理引理1：在上单调递增，在上单调递减证明：在上大于，在上小于引理2：当时，特别，设，则证明：设当时，故单调递增再由，得回到原题根据引理，有以下几种情形情形一：均满足题设情形二：，设，则由，可得满足题设的只有情形三
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