试论数学美与创造.pdf

Vol 21 No 1 丹 东 师 专 学 报 总第75期 Mar 1999 JOURNAL OF DANDONG TEACHERS COLLEGE SUM NO 75 试论数学美与创造 韩行禧 大连大学 大连 116022 摘要 数学美是一种理性美 它对启迪人们的创造行为有着独特的功能 本文试从对数学中的 逻辑美 简洁美 数与形 的调和美 奇异美与创造的关系论述 以唤起人们的情感 诱发人们的创 造潜能 关键词 数学美 抽象美 简洁美 调和美 奇异美 创造 中图分类号 O 010 二十一世纪 将是不同领域科技创造性融合的时代 促进科学和技术融合的诸多因素中 作为科学的 皇后和 仆从 的数学在其中扮演着特殊的角色 各门学科由于 广泛地应用数学与数学方法 出现了自然科学 社会科学 和思维科学广泛 数学化 的热潮 又由于数学的 桥 与 纽带 作用 沟通了不同学科之间的广泛联系 加速了学 科之间 科学与技术之间融合的速度 促进了包括数学学 科在内的各门学科的繁荣和发展 出现了大量的边缘学 科和交叉学科 数学美应运而生 众所周知 美是以 真 为基础 数学是以 真 为其条 件和结果 由 真 把美揉合到数学之中 使得数学中的高 度的抽象性与美学中的直觉的合理性达到完美的统一 使得数学中的逻辑的严谨性与美学中的形式的宜人性达 到了完美的统一 数学中有着丰富的 美 的底蕴 特别 是新的视觉技术的出现和发展 使得抽象思维和形象思 维紧密结合 给以抽象思维为其主要特征的数学和以形 象思维为其主要特征的美学的创造性的融合创造了条 件 使数学美更具艳姿 在这里 我们还应该特别强调的 是 数学美比其他通常意义下的美 更为深刻 更有特色 正象大数学家庞加莱早先说过的那样 数学美是一种不 同于质地美和表现美的比较深刻的特殊美 大教育家苏 霍姆林斯基更进一步指出 美和活生生的思维如同太阳与 用软件将会为用户提供更加友好的界面 受到用户的欢 迎和好评 下面我们以一个简单应用为例 说明如何使用声音 进行操作提示工作 窗口是应用程序和用户交互的界 面 用户通过窗口及窗口上的控件和菜单表达自己的操 作意图 如果我们在窗口上放置一个 帮助 按钮 当用户 使用鼠标点击该按钮时 将会用声音提示在该窗口下如 何操作 为用户提供一个直接而便利的帮助 首先使用 话筒和WINDOWS SOUND RECORDER录下该窗口帮 助信息的内容 假设存入名为whelp wav的声音文件中 然后在PowerBuilder中 建造欲包含该功能的窗口以及窗 口上的各种控件 其中包括在合适的位置放置一个命令 按钮 使命令按钮的name为cb help text为 帮助 下 一步就是为该命令按钮建立一个适当的事件处理程序 当用户用鼠标点击 帮助 按钮时 击活该事件处理程序 作相应的处理 假设我们已经在该应用中用前面介绍的 方法定义了全局函数SndplaySound 那么可以在cb help 控件的clicked事件中输入如下代码 ulong snd sync 0 Sndplaysound whelp wav snd sync 这样当鼠标点击这个按钮时 用户就可以听到声音 提示信息了 下面我们再讨论一个在PowerBuilder中使用媒体控 制函数播放电子合成器 MIDI 音乐的方法 假如人们想 在打开一个窗口的同时播放一段音乐 则可在相应的该 窗口的OPEN事件的事件处理程序中加入下述代码 long Openrtn Playrtn Clsertn Openrtn mciSendstring Open C WINDOWS CANYON MID TYPE Sequencer Alias music 0 0 Playrtn mciSendstring play music wait 0 0 Closertn mciSendstring Close music 0 0 该实例是在PC 586上以Power Builder Enprise5 0环 境下调试通过的 在Power Builder应用程序中加入多媒体编程接口 使软件开发人员将数据库应用和多媒体技术结合起来 从而达到了异曲同工之妙 参考文献 1 陈新 利用MFc开发类封的声音程序 微计算机应 用 1996 2 孙敬传等译 Microsoft Windows多媒体程序员工 作手册 北京 3 张长富 李匀 PowerBuilder开发人员指南 北京希 望电脑公司 4 Simom Gallagher著 PowerBuilder 6 0程序设计大 全 责任编辑 鞠衍清 51 花一样 有机地联系在一起 富有诗意的创造开始于美的 幻想 数学美与创造结下了不解之缘 创造是智慧的花朵 各种创造行为其本身就包含着 美 美会给人带来满足和享受 美是人们的向往 是人们 的追求 庞加莱说 能够作出数学发现的人 是具有感 受数学中的秩序 和谐 对称 整齐和神密之美的能力的 人 而且只限于这种人 美能诱发人们的创造潜能 常常 成为创造精神的契机 美好的未来 驱使人们去奋斗 去 创造 1 数学的逻辑美与创造 图1 数学的逻辑性是数学学科的突出特征 逻辑美 或 称抽象美 是数学美的主要特征 数学中抽象美 是通过 抽象的思维形式 排除了实际问题的繁杂的外型 只保留 其数学内核 形成一种整齐 简洁的数学形式 是一种特 殊美的艺术形象 数学家们通过了数学抽象 创造了众多 美的形象 发展了数学自身 数学 中的欧几里得空间 射影空间 拓 扑空间等数学美殿堂中的奇葩在 某种意义上可以说是抽象美的杰 作 古老的哥尼斯堡的柏瑞格尔 河上的七桥问题 当时瑞士大数 学家欧拉 将问题抽象为图1 其 中A B为岛 C D为两块陆地 单线为桥 这样就把一个 非常复杂的问题 抽象为一个简洁的数学模型 利用一 笔画理论 证明了不可能一次走完七座桥 每座桥只走一 次 同时 还应该说到的是 欧拉的这个抽象构图 不就 是一幅极美的艺术作品吗 我们如果说和谐是艺术美的体现 那么逻辑合理则 是理性美的体现 数学学科内在的逻辑美 是通过数学语 言这种形式来表达的 严谨的数学推理 犹如艺术作品 中合理的布局 流畅的线条和层次鲜明的色彩 这是人们 公认的 在几何发展的长河中 人们认为欧几里得几何 尽管十分优美 精湛 但是 他建立的公理确实还不充分 一些未经说明的假定悄悄地溜了进来 德国大数学家希 尔伯特恰当地运用了抽象美这绝妙的武器建立了一组简 单而又完备的 相互独立的公理系 通过这组公理证明了 欧几里得几何中早已熟知的全部定理 他的 公理法 将 抽象的观点与具体的传统语言创造性地结合起来 撰写 了数学名著 几何基础 建立了一个完备的几何系 统 震动了当时的数学界 人们把他的 表达方式 与逻辑 的完美 称作是一个伟大的创造 匈牙利大数学家鲍耶 和俄国大数学家罗巴切夫斯基 对欧几里得几何中的 平 行公设 不证自明感到不自在 他们充分发挥了逻辑美的 魅力 否定了 在平面上 过已知直线外一点 至多可以作 一条直线与已知直线不相交 这一命题 改用 在平面上 过已知直线外一点 至少可以作两条直线与已知直线不 相交 的命题 创立了罗巴切夫斯基几何体系 并卓有成 效地证明了这个体系的存在性和唯一性问题 之后 人们 很自然地会想到是否还有另外的几何学 在这种几何学 中 在平面上 过已知直线外一点 不存在与已各直线不 相交的直线 这个命题被德国大数学家黎曼首先提出并 建立了黎曼几何学 可以这样说 几何学的发展史是一 部创造史 逻辑美推动了几何学的发展 建立了人类文明 史上伟大的里程碑 数学中的抽象美的内容比比皆是 例如 射影几何 学中用有限抽象无限 建立数学模型Mobius带 使人们认 识无限 理想元素 成为可能 代数学中 将研究对象抽 象为集合元素 将数的运算抽象为集合中的运算 引进了 群 环 体 域 的概念 建立了近世代数学 他们是将抽 象美与创造完美结合的典范 是一种伟大的创造 2 数学形式的简洁美与创造 数学美不是一种单纯的花一样的描述 它有着丰富 的内涵 数学形式的对称 简洁是一种冷而严肃的美 是 一种简洁美 数学形式的简洁美是数学美又一突出特征 它与逻 辑美是相辅相成的 逻辑可能的 已成为现今数学的主 要研究对象 因此 简洁美更有其特殊价值 大家知道 数学语言的形象 精练 简洁 是思维经济化要求的主要 体现 它非常符合现今世界的快节拍的时代特点 一个 繁杂的实际问题 只要用一个简洁的数学方程 或方程 组 就可将其描述得明明白白 简洁的表象本身就是一 个逻辑形式 它可使人的思维路线清晰 思维方向明确 然而 数学的简洁美的主要表现方式是逻辑推理 逻辑 推理是一种抽象的思维方法 是创造性思维活动 它是运 用人的思维力 按着逻辑规律 将几种知识重新组合或者 是将一个领域的某些知识合乎逻辑地推广 移植到另一 领域 这种组合 推广或移植的知识不是原来知识的简 单重复 而是一种新知识的创生 即是创造 另外 我们 在寻求一个数学问题的解决 往往需要将问题进行转化 它主要通过化难为易 化繁为简 化暗为明 将要解决的 问题转化为另一个可以解决的等价命题 以求解决 这种 转化的思想就是数学中的简洁美的一种具体体现 简洁 美通过转化作用产生新的创造 世界上的万物它自身的对称 是一种美 数学形式 的对称更具美的特色 事物本身的对称 是一种求得平 衡的静态思想 事物中 动态有动态美 静态又有其静态 美 各具特色 静态中蕴含着动态美 动态中蕴含着静态 美 它们是辨证的 事物运动的不平衡到平衡 是自身发 展的过程 是自身完善的过程 是一种创造 对称美是简 洁美的一种表现形式 寻求对称的过程 是一种创造的过 程 是一种事半功倍的思维经济化的思想 数学形式中 由于 形 的对称美的关系而表现出的形体美 使几何形 体作为美的象征被广泛地应用于建筑装饰之中 美化人 们的生活 数学形式中 由于 量 的对称美的关系 使运 算更简洁 形式更美观 例如 二项式 a b n 的展开式 的系数 被我国南宋时代的数学家杨辉以其卓越的创造 将其对称美的特点表示成所谓的 杨辉三角形 其形式 结构新颖 记忆方便 数学形式中 由于 理论 上的对称 美的关系 使数学形式更简洁 理论更完备 例如 射影 几何学中的 对偶原理 揭示了射影理论中的对称美的 特点 我们只要证明 点几何 的有关定理 线几何 的对 应命题就可不证自明 对称美发挥出事半功倍的作用 三 数学中的 数与形 的调和美与创造 数学的 数与形 的调和美 是数学美的另一特征 大家知道 事物的数量关系和空间形式是被人们认为是 数学的主要研究对象 数与形的调和美是构通这两大研 61 究对象之间联系的重要方式 是一种奇特的表现 我们 熟知的长方形的长与宽的最和谐的比为1 0 618 它已作 为美的结构 被广泛地应用于建筑装饰之中 据现代科 学家的发现 当人的体温 37 与大自然的气温 23 之比为1 0 618时 最适宜人的身心健康 使人感到舒 适 有助于人的智力发展和心灵美的孕育 作为具有 调 和与对称 的数学真义的典型实例 在这里 我想简单介 绍射影几何学中的完全四点形和完全四线形的调和性 质 在完全四点形的每条边 包括对边三点形的三边 上 有一组调和共轭点 AB边和xy边上有 AB PZ 1 xy EP 1 如图2 过完全四线形的每一顶点 包 括对顶三线形上三顶点 有一组调和共轭直线 如图 3 过顶点P和V有 ad zm 1 xy nm 1 完全四 点形与对应的完全四线形是对偶的 上述性质 即理论 上的对称性 它们将 数与形 的调和美体现得绝妙之极 图2 图3 数学中的调和美特性 使得本来比较抽象 比较枯燥 的数学 因为有了与其调和对应的图形而非常形象地表 现出来 变抽象的东西为具体的形象 变枯燥的东西有了 生气 另外 由于 数与形 存在有调和特性 这样就可 以用一个问题的代数表达形式研究其几何特性 或者利 用它的几何表达形式研究其代数特性 使问题的研究思 路开阔 这种研究形式上的转换 不仅是研究方法上的 创造 更重要的是一个思维方式上的创新 例如 天文学 家提丢斯创造性的发现 以4为基数 分别加上一个数列 0 3 6 12 24 48 96 192 中任何一个数 便得到一个此 数较近的各个行星的距离 这里日地的距离为 1 这个 规律用公式表示为0 4 0 3 2n 当时他预言 与数列中 24相对应处缺少一颗行星 1971年 德国天文学威廉 赫歇尔根据这个数字发现了这颗行星 并取名为天王星 巴黎天文学家勒威耶从研究天王星运动轨道的反常现象 时 发现 形与数 出现了不调和现象 认为还应该有颗行 星存在 之后 他推算出了一颗新的未知行星的轨道根 数 1946年 柏林天文学家加尔根据这个数据发现了海 王星 恩格斯对勒威耶这一重大发现给予了极高的评价 把它和门捷列夫周期表的发现认为是 科学上的一个勋 业 4 数学的奇异美与创造 数学中的奇异美是数学美的显著特征之一 前面我 们谈到逻辑美 简洁美 调和美 它们是数学美的基本内 涵 而奇异美就更具特色 它可以蕴含在数学美的多种形 式之中 在这些美中有着某些奇异这是锦上添花 然而 它是各种形式美中更具创造色彩的一种美 英国人弗兰 西斯 培根说过 没有一个极美的东西不是在调和中有 着某些奇异 奇异顾名思义就是与众不同 是创新 在 某种意义上说 由于人们有求异思维的特征 有创造性思 维能力 才使世界万物不断创新 世界得以发展 人类得 以进步 我们人类生活的现实空间 存在着无数个大小 形状 各异的多面体 人们用它来美化自己的生活 从数学的 角度看 我们认为最简单而又最重要的多面体就要算是 简单多面体 经过连续变形能变成球面的多面体 了 在 这些众多简单多面体中 蕴含着奇妙的数量关系 它被大 数学家欧拉首先发现并证明了的欧拉定理 简单多面体 的顶点数E 棱数K 面数F之间存在有E K F 2的 算式 这已经是一个很漂亮的结论 后来 由上面结论 又推证出只有五种正多面体这一重要事实 形形色色的 多面体 给人们的生活已经增添了美的享受 而这E K F 2的等式又给人们一个重要启示 它成为拓扑学的 重要公式之一 这真是给已经很美的几何形体又增加了 奇异美的数量色彩 再如 大数学家费尔马猜想 形如